题目内容
已知:△ABC中,记∠BAC=α,∠ACB=β.
(1)如图1,若AP平分∠BAC,BP,CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN,BD⊥AP于点D,用α的代数式表示∠BPC的度数,用β的代数式表示∠PBD的度数
(2)如图2,若点P为△ABC的三条内角平分线的交点,BD⊥AP于点D,猜想(1)中的两个结论是否发生变化,补全图形并直接写出你的结论.

(1)如图1,若AP平分∠BAC,BP,CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN,BD⊥AP于点D,用α的代数式表示∠BPC的度数,用β的代数式表示∠PBD的度数
(2)如图2,若点P为△ABC的三条内角平分线的交点,BD⊥AP于点D,猜想(1)中的两个结论是否发生变化,补全图形并直接写出你的结论.

(1)∵∠BAC+∠CBA+∠ACB=180°,∠BAC=α
∴∠CBA+∠ACB=180°-∠BAC=180°-α
∵∠MBC+∠ABC=180°,∠NCB+∠ACB=180°
∴∠MBC+∠NGB=360°-∠ABC-∠ACB=360°-(180°-α)=180°+α
∵BP,CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN
∴∠PBC=
∠MBC,∠PCB=
∠NCB
∴∠PBC+∠PCB=
∠MBC+
∠NCB=
(180°+α)=90°+
α
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°
∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-(90°+
α)=90°-
α
∵∠BAC=α,∠ACB=β,∵∠MBC是△ABC的外角
∴∠MBC=α+β
∵BP平分∠MBC
∴∠MBP=
∠MBC=
(α+β)
∵∠MBP是△ABP的外角,AP 平分∠BAC
∴∠BAP=
α,∠MBP=∠BAP+∠APB
∴∠PBD=90°-∠APB=90°-(∠MBP-∠BAP)=90°-∠MBP+∠BAP=90°-
(α+β)+
α=90°-
β;
(2)如图2,若点P为△ABC的三条内角平分线的交点,BD⊥AP于点D,猜想(1)中的两个结论已发生变化,
∠BPC=90°+
α;∠PBD=
.
∴∠CBA+∠ACB=180°-∠BAC=180°-α
∵∠MBC+∠ABC=180°,∠NCB+∠ACB=180°
∴∠MBC+∠NGB=360°-∠ABC-∠ACB=360°-(180°-α)=180°+α
∵BP,CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN
∴∠PBC=
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∴∠PBC+∠PCB=
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∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°
∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-(90°+
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∵∠BAC=α,∠ACB=β,∵∠MBC是△ABC的外角
∴∠MBC=α+β
∵BP平分∠MBC
∴∠MBP=
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∵∠MBP是△ABP的外角,AP 平分∠BAC
∴∠BAP=
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∴∠PBD=90°-∠APB=90°-(∠MBP-∠BAP)=90°-∠MBP+∠BAP=90°-
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(2)如图2,若点P为△ABC的三条内角平分线的交点,BD⊥AP于点D,猜想(1)中的两个结论已发生变化,

∠BPC=90°+
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β |
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