Question

如图8，已知△ABC，AB=AC，以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE.
（1）求证：DE=DC．
（2）如图9，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系.

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠B+∠AED =180°
∵∠DEC+∠AED =180°
∴∠DEC =∠B
∵AB=AC
∴∠C =∠B
∴∠DEC =∠C
∴DE=DC
（2）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴ ∠A+∠BDE =180°
∵∠EDC+∠BDE =180°
∴∠A=∠EDC
∵OA="OE"
∴∠A=∠OEA
∵∠OEA=∠CEF
∴∠A=∠CEF
∴∠EDC=∠CEF
∵∠EDC+∠DEC+∠DCE =180°
∴∠CEF+∠DEC+∠DCE =180°
即∠DEF +∠DCE =180°
又∵∠DCG +∠DCE =180°
∴∠DEF=∠DCG
∵∠EDC旋转得到∠FDG
∴∠EDC=∠FDG
∴∠EDC -∠FDC =∠FDG -∠FDC
即∠EDF=∠CDG
∵DE=DC
∴△EDF ≌ △CDG（ASA）
∴DF="DG"

（1）根据圆内接四边形的性质即等腰三角形的性质即可得到结果；
（2）根据圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定及性质即可得到结果；