Question

【题目】如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（2，3）．

（1）求两个函数的表达式；

（2）点P是y轴上的一个动点，当∠APB为直角时，求P点坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x+2， y=；（2）P（0，5）或（0，-3）．

【解析】

（1）根据待定系数法，即可求解；

（2）先算出B(-6，-1)，作AM⊥y轴于M，BN⊥y轴于N，设P(0，n)，易得△APM∽△PBN，进而得=，即可求解．

（1）∵A(2，3)为一次函数与反比例函数图象的交点，

∴将A(2，3)代入一次函数解析式得：3=2k+2，

解得：k=，

将A(2，3)代入反比例函数解析式得：3=，

解得：a=6，

∴一次函数的解析式为y=x+2，反比例函数的表达式为y=；

（2）联立，解得：或，

∴B(-6，-1)，

作AM⊥y轴于M，BN⊥y轴于N，设P(0，n)，

∴M（0，3），N（0，-1），

∴AM=2，BN=6，PM=|n-3|，PN=|n+1|

∵∠APB为直角，

∴∠BPN+∠APM=∠APM+∠PAM，

∴∠BPN=∠PAM，

∵∠PNB=∠AMP=90°，

∴△APM∽△PBN，

∴=，

∴=，

解得：n=5或n=-3，

∴P(0，5)或(0，-3)．