题目内容

正方形ABCD的边长为2,E是射线CD上的动点(不与点D重合),直线AE交直线BC于点G,∠BAE的平分线交射线BC于点O.
(1)如图,当CE=
2
3
时,求线段BG的长;
(2)当点O在线段BC上时,设
CE
ED
=x
,BO=y,求y关于x的函数解析式;
(3)当CE=2ED时,求线段BO的长.
(1)在边长为2的正方形ABCD中,CE=
2
3
,得DE=CD-CE=2-
2
3
=
4
3

又∵ADBC,即ADCG,
CG
AD
=
CE
DE
=
1
2

得CG=1.
∵BC=2,
∴BG=3;

(2)当点O在线段BC上时,过点O作OF⊥AG,垂足为点F.
∵AO为∠BAE的角平分线,∠ABO=90°,
∴OF=BO=y.
在正方形ABCD中,ADBC,
CG
AD
=
CE
ED
=x

∵AD=2,
∴CG=2x.
又∵
CE
ED
=x
,CE+ED=2,
∴得CE=
2x
1+x

∵在Rt△ABG中,AB=2,BG=2+2x,∠B=90°,
∴AG=2
x2+2x+2

∵AF=AB=2,
∴FG=AG-AF=2
x2+2x+2
-2

OF
FG
=
AB
BG

y=
AB
BG
•FG

y=
2
x2+2x+2
-2
x+1
.(x≥0);

(3)当CE=2ED时,

①当点O在线段BC上时如图(1),即x=2,由(2)得OB=y=
2
10
-2
3

②当点O在线段BC延长线上时,如图(2),CE=2DE=4,ED=2,在Rt△ADE中,AE=2
2

设AO交线段DC于点H,
∵AO是∠BAE的平分线,
∴∠BAH=∠HAE,
又∵ABCD,
∴∠BAH=∠AHE.
∴∠HAE=∠AHE.
∴EH=AE=2
2

∴CH=4-2
2

∵ABCD,
CH
AB
=
CO
BO

4-2
2
2
=
BO-2
BO
,得BO=2
2
+2.
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