Question

【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α．

（1）问题发现

①当α＝0°时，＝_______；

②当α＝180°时，＝______．

（2）拓展探究

试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

（3）问题解决

△CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，求线段BD的长．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）的大小没有变化，证明见解析；（3）BD的长为或．

【解析】

（1）①当α＝0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．

②α＝180°时，可得AB∥DE，然后根据＝，求出的值是多少即可．

（2）首先判断出∠ECA＝∠DCB，再根据＝＝，判断出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点E在AB的延长线上时，②如图3﹣2中，当点E在线段AB上时，分别求解即可．

解：（1）①当α＝0°时，

∵Rt△ABC中，∠B＝90°，

∴AC＝＝＝2，

∵点D、E分别是边BC、AC的中点，

∴AE＝AC＝，BD＝BC＝1，

∴＝．

②如图1中，

当α＝180°时，

可得AB∥DE，

∵＝，

∴＝＝．

故答案为：①，②．

（2）如图2，

当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，

∵∠ECD＝∠ACB，

∴∠ECA＝∠DCB，

又∵＝＝，

∴△ECA∽△DCB，

∴＝＝．．

（3）①如图3﹣1中，当点E在AB的延长线上时，

在Rt△BCE中，CE＝，BC＝2，

∴BE＝＝＝1，

∴AE＝AB+BE＝5，

∵＝，

∴BD＝＝．

②如图3﹣2中，当点E在线段AB上时，

BE＝＝＝1，AE＝AB-BE =4﹣1＝3，

∵＝，

∴BD＝，

综上所述，满足条件的BD的长为或．