Question

如图，直线与⊙O相切于点D，过圆心O作EF∥交⊙O于E、F两点，点A是⊙O上一点，连接AE，AF，并分别延长交直线于B、C两点；

（1）求证：∠ABC+∠ACB=90°；
（2）若⊙O的半径，BD=12，求tan∠ACB的值．

Answer 1

解（1）证明：如图，∵EF是⊙O的直径，∴∠EAF=90°。∴∠ABC+∠ACB=90°。
（2）连接OD，则OD⊥BD，过点E作EH⊥BC，垂足为点H，

∴ EH∥OD。         
∵EF∥BC，EH∥OD， OE=OD，
∴四边形EODH是正方形 。∴EH=HD=OD=5。
∵BD=12，∴BH=7。
在Rt△BEH中，tan∠BEH=。
又∵∠ABC+∠BEH=90°,∠ABC+∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠BEH。∴tan∠ACB。

（1）由直径所对圆周角是直角的性质和三角形内角和定理可得结论。
（2）求出tan∠BEH=，由∠ACB=∠BEH可得结论。