Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90⁰，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．

（1）求证：BD＝BF；
（2）若CF＝1，cosB＝，求⊙O的半径．

Answer 1

解：（1）证明：如图，连接OE,

∵AC与⊙O相切于点E，  ∴OE⊥AC，即∠OEC＝90⁰.
∵∠ACB＝90⁰，∴∠OEC＝∠ACB。∴OE∥BC。
∴∠OED＝∠F。
∵OE=OD，∴∠OED＝∠ODE。∴∠F＝∠ODE。
∴BD=BF。
（2）∵cosB＝，∴设BC=3ｘ，AB=5ｘ。
∵CF=1，∴。
由（1）知，BD=BF，∴。∴。∴,。
∵OE∥BF，∴∠AOE＝∠B。∴，即，解得，。
∴⊙O的半径为。

试题分析：（1）由平行线的性质、等腰三角形的性质推知∠OED=∠F，则易证得结论。
（2）由cosB＝，设BC=3ｘ，AB=5ｘ，根据OE∥BF，得∠AOE＝∠B，从而。因此列出关于半径r的方程，通过解方程即可求得r的值，进而得到⊙O的半径。