题目内容
【题目】△ABC中,AD是BC边上的高,BD=3,CD=1,AD=2,P、Q、R分别是BC、AB、AC边上的动点,则△PQR周长的最小值为 .
【答案】.
【解析】
试题分析:如图1中,作P点关于AB的对称点P′,作P点关于AC的对称点P″,连接P′P″,与AB交于点Q′,与AC交于点R′,连接PP′交AB于M,连接PP″交AC于N,此时△PQ′R′的周长最小,这个最小值=P′P″,∵PM=MP′,PN=NP″,∴P′P″=2MN,∴当MN最小时P′P″最小.如图2中,∵∠AMP=∠ANP=90°,∴A、M、P、N四点共圆,线段AP就是圆的直径,MN是弦,∵∠MAN是定值,∴直径AP最小时,弦MN最小,∴当点P与点D重合时,PA最小,此时MN最小.如图3中,∵在RT△ABD中,∠ADB=90°,AD=2,DB=3,∴AB=,在RT△ADC中,∵∠ADC=90°,AD=2,CD=1,∴AC=,∵DM⊥AB,DN⊥AC,∴ACDN=DCAD,∴DN=,AN=,∵∠MAD=∠DAB,∠AMD=∠ADB,∴△AMD∽△ADB,∴,∴=AMAB,同理=ANAC,∴AMAB=ANAC,∴,∵∠MAN=∠CAB,∴△AMN∽△ACB,∴,∴,∴MN=,∴△PQR周长的最小值=P′P″=2MN=.
故答案为:.
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