题目内容

【题目】ABC中,AD是BC边上的高,BD=3,CD=1,AD=2,P、Q、R分别是BC、AB、AC边上的动点,则PQR周长的最小值为

【答案】.

【解析】

试题分析:如图1中,作P点关于AB的对称点P′,作P点关于AC的对称点P″,连接P′P″,与AB交于点Q′,与AC交于点R′,连接PP′交AB于M,连接PP″交AC于N,此时PQ′R′的周长最小,这个最小值=P′P″,PM=MP′,PN=NP″,P′P″=2MN,当MN最小时P′P″最小.如图2中,∵∠AMP=ANP=90°,A、M、P、N四点共圆,线段AP就是圆的直径,MN是弦,∵∠MAN是定值,直径AP最小时,弦MN最小,当点P与点D重合时,PA最小,此时MN最小.如图3中,在RTABD中,ADB=90°,AD=2,DB=3,AB=,在RTADC中,∵∠ADC=90°,AD=2,CD=1,AC=DMAB,DNAC,ACDN=DCAD,DN=,AN=∵∠MAD=DAB,AMD=ADB,∴△AMD∽△ADB,=AMAB,同理=ANAC,AMAB=ANAC∵∠MAN=CAB,∴△AMN∽△ACB,MN=∴△PQR周长的最小值=P′P″=2MN=

故答案为

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