Question

【题目】阅读下面材料：如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=ax+b与双曲线y2= 交于A（1，3）和B（﹣3，﹣1）两点，观察图象可知：①当x=﹣3或1时，y1=y2；②当﹣3＜x＜0或x＞1时，y1＞y2；即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax+b＞ 的解集．
有这样一个问题：求不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集．
艾斯柯同学类比以上知识的研究方法，用函数与方程的思想对不等式的解法进行了探究，请将他下面的②③④补充完整：
①当x=0时，原不等式不成立：当x＞0时，原不等式可以转化为x2+4x﹣1＞ ；当x＜0时，原不等式可以转化为x2+4x﹣1＜ ．
②构造函数，画出图象
设y3=x2+4x﹣1，y4= 在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．
双曲线y4= 如图2所示，请在此坐标系中直接画出抛物线y3=x2+4x﹣1（可不列表）；

③利用图象，确定交点横坐标
观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y3=y4的所有x的值为
④借助图象，写出解集
结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集为

Answer 1

【答案】﹣4＜x＜﹣1或x＞1
【解析】解：②y3=x2+4x﹣1对称轴是x=﹣2，顶点坐标（﹣2，﹣5），且开口向上，与y轴交点的坐标分别是（0，﹣1），（0，﹣1）关于对称轴的对称点是（﹣4，﹣1）用三点法作抛物线如图所示．
③观察函数图象可知：交点的横坐标分别为﹣4，﹣1或1．当x=﹣4时，y3=x2+4x﹣1=﹣1，y4= =﹣1；
当x=﹣1时，y3=x2+4x﹣1=﹣4，y4= =﹣4；当x=1时，y3=x2+4x﹣1=4，y4= =4．
∴满足y3=y4的所有x的值为：﹣4，﹣1 或1．所以答案是：﹣4，﹣1 或1．
④观察函数图象可知：当﹣4＜x＜﹣1时，二次函数y3=x2+4x﹣1的图象在反比例函数y4= 的图象的下方；当x＞1时，二次函数y3=x2+4x﹣1的图象在反比例函数y4= 的图象的上方，∴不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集为：﹣4＜x＜﹣1或x＞1．所以答案是：﹣4＜x＜﹣1或x＞1．
【考点精析】通过灵活运用反比例函数的图象和二次函数的图象，掌握反比例函数的图像属于双曲线．反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．有两条对称轴：直线y=x和 y=-x．对称中心是：原点；二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点即可以解答此题．