题目内容
【题目】如图,矩形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD于点E.
(1)求证:∠BAM=∠AEF;
(2)若AB=4,AD=6,cos∠BAM=,求DE的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】试题分析:
(1)由已知易得∠B=∠BAD=∠AFE=90°,由此可得∠BAM+∠EAM=90°,∠EAM+∠AEF=90°,∴∠BAM=∠AEF;
(2)由,可得AM=5,由F是AM的中点可得AF=2.5,由∠AEF=∠BAM,可得cos∠AEF=cos∠BAM=,∴sin∠AEF=,∴AE=,∴DE=AD-AE=.
试题解析:
(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠BAD=90°.
∵EF⊥AM,
∴∠AFE=90°,
∴∠EAF+∠BAM=∠EAF+∠AEF=90°,
∴∠BAM=∠AEF;
(2)在Rt△ABM中,∵∠B=90°,AB=4,cos∠BAM=,
∴AM=5.
∵F为AM的中点,
∴AF=
∵∠BAM=∠AEF,
∴cos∠BAM=cos∠AEF=.
∴sin∠AEF=.
在Rt△AEF中,∵∠AFE=90°,AF=,sin∠AEF=,
∴AE=.
∴DE=AD-AE=6-=.
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