Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB=8．

（1）利用尺规，作∠CAB的平分线，交⊙O于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接CD，OD，若AC=CD，求∠B的度数；
（3）在（2）的条件下，OD交BC于点E，求由线段ED，BE， 所围成区域的面积．（其中 表示劣弧，结果保留π和根号）

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1所示，AP即为所求的∠CAB的平分线

（2）解：如图2所示：

∵AC=CD，

∴∠CAD=∠ADC，

又∵∠ADC=∠B，

∴∠CAD=∠B，

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠DAB=∠B，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠CAB+∠B=90°，

∴3∠B=90°，

∴∠B=30°

（3）解：由（2）得：∠CAD=∠BAD，∠DAB=30°，

又∵∠DOB=2∠DAB，

∴∠BOD=60°，

∴∠OEB=90°，

在Rt△OEB中，OB= AB=4，

∴OE= OB=2，

∴BE= = =2 ，

∴△OEB的面积= OEBE= ×2×2 =2 ，扇形BOD的面积= = ，

∴线段ED，BE， 所围成区域的面积= ﹣2

【解析】（1）由角平分线的基本作图即可得出结果；（2）由等腰三角形的性质和圆周角定理得出∠CAD=∠B，再由角平分线得出∠CAD=∠DAB=∠B，由圆周角定理得出∠ACB=90°，得出∠CAB+∠B=90°，即可求出∠B的度数；（3）证出∠OEB=90°，在Rt△OEB中，求出OE= OB=2，由勾股定理求出BE，再由三角形的面积公式和扇形面积公式求出△OEB的面积= OEBE=2 ，扇形BOD的面积═ ，所求图形的面积=扇形面积﹣△OEB的面积，即可得出结果．本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、扇形面积公式等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．