Question

如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA.

(1)求证：DE平分∠BDC；
(2)若点 M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD.

Answer 1

见解析

证明：(1)在Rt△ABC中，
∵AC＝BC
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
又∵∠CAD＝∠CBD＝15°
∴∠BAD＝∠ABD＝30°，
∴AD＝BD，∠ADB＝120°
∴△ADC≌△BDC(SAS)，∠BDE＝60°
∴∠ADC＝∠BDC＝120°
∴∠MDC＝60°，∴∠BDE＝∠CDE，
∴DE平分∠BDC.
(2)连CM由(1)知∠MDC＝60°

又∵DC＝DM，∴△DCM是等边三角形
∴∠CME＝120°，又∵AC＝CE，
∴∠CAE＝∠CEA＝15°.∴∠CEA＝∠CBD＝15°
由(1)知∠BDC＝120°，∴∠BDC＝∠EMC
∴△BDC≌△EMC，∴ME＝BD.