题目内容
【题目】如图,将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C',使点A'落在∠ACB的外角平分线CD上,连结AA'.
(1)判断四边形ACC'A'的形状,并说明理由;
(2)在△ABC中,∠B=90°,A B=24,cos∠BAC= ,求CB'的长.
【答案】
(1)
解:四边形ACC'A'是菱形.理由如下:
由平移的性质得到:AC∥A′C′,且AC=A′C′,
则四边形ACC'A'是平行四边形.
∴∠ACC′=∠AA′C′,
又∵CD平分∠ACB的外角,即CD平分∠ACC′,
∴CD也平分∠AA′C′,
∴四边形ACC'A'是菱形.
(2)
解:∵在△ABC中,∠B=90°,A B=24,cos∠BAC= ,
∴cos∠BAC= =
,即
=
,
∴AC=26.
∴由勾股定理知:BC= =
=7
.
又由(1)知,四边形ACC'A'是菱形,
∴AC=AA′=26.
由平移的性质得到:AB∥A′B′,AB=A′B′,则四边形ABB′A′是平行四边形,
∴AA′=BB′=26,
∴CB′=BB′﹣BC=26﹣7 .
【解析】(1)根据平行四边形的判定定理(有一组对边平行且相等的四边形是平四边形)推知四边形ACC'A'是平行四边形.又对角线平分对角的平行四边形是菱形推知四边形ACC'A'是菱形.(2)通过解直角△ABC得到AC、BC的长度,由(1)中菱形ACC'A'的性质推知AC=AA′,由平移的性质得到四边形ABB′A′是平行四边形,则AA′=BB′,所以CB′=BB′﹣BC.
【考点精析】通过灵活运用平移的性质和解直角三角形,掌握①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行(或在同一直线上)且相等,对应角相等,图形的形状与大小都没有发生变化;②经过平移后,对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等;解直角三角形的依据:①边的关系a2+b2=c2;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义.(注意:尽量避免使用中间数据和除法)即可以解答此题.
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