Question

如图AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，过点C作DC⊥OA，交AB于点D.

(1)求证：∠CDO＝∠BDO；
(2)若∠A＝30°，⊙O的半径为4，求阴影部分的面积(结果保留π)．

Answer 1

（1）见解析   （2）－

(1)证明：AB切⊙O于点B，
∴OB⊥AB，即∠B＝90°.
又∴DC⊥OA，∴∠OCD＝90°.
在Rt△COD与Rt△BOD中，OD＝OD，OB＝OC，
∴Rt△COD≌Rt△BOD.
∴∠CDO＝∠BDO.
(2)在Rt△ABO中，∠A＝30°，OB＝4，
∴∠BOC＝60°，
∵Rt△COD≌Rt△BOD，
∴∠BOD＝30°，
∴BD＝OB·tan 30°＝.
∴S_{四边形OCDB}＝2S_△OBD＝2××4×＝.
∵∠BOC＝60°，
∴S_扇形OBC＝＝.
∴S_阴影＝S_{四边形OCDB}－S_扇形OBC＝－.