Question

【题目】如图，直线y=﹣ x+4交x轴于点A，交y轴于点C，抛物线y=ax2﹣ x+c过点A，交y轴于点B（0，﹣2）

（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为抛物线在第四象限部分上的一个动点，求四边形BMAC面积的最大值；
（3）点D为抛物线对称轴上一点，规定：d=|AD﹣BD|，探究d是否存在最大值？若存在，请直接写出d的最大值及此时点D的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直线y=﹣ x+4交x轴于点A，交y轴于点C，

∴点A坐标为（3，0）、点C坐标为（0，4），

∵抛物线y=ax2﹣ x+c过点A，交y轴于点B（0，﹣2）．

∴ ，解得： ，

∴抛物线解析式为y= x2﹣ x﹣2；

（2）

解：如图1所示，过点M作x轴的垂线，交直线y=﹣ x+4于点N．

设点M（x， x2﹣ x﹣2），则点N的坐标为（x，﹣ x+4）．

∵MN∥BC，

∴MN和BC间的距离为x，MN=（﹣ x+4）﹣（ x2﹣ x﹣2）=6﹣ x2，点A到MN的距离d=3﹣x，则四边形BMNC的面积S1= （BC+MN）x=6x﹣ x3，

△ANM的面积S2= MN（3﹣x）= x3﹣x2﹣3x+9，

∴四边形BMAC的面积S=S1+S2=6x﹣ x3+ x3﹣x2﹣3x+9=﹣x2+3x+9=﹣（x﹣ ）2+ ，

∵0＜x＜3，

∴当x= 时，四边形BMAC面积的最大值为 ．

（3）

解：如图2所示：记抛物线与x轴的另一个交点为E．

∵抛物线的对称为x=﹣ =1，A（3，0），

∴E（﹣1，0）．

∴OE=1，EF=2．

∵点E与点A关于抛物线的对称轴对称，

∴ED=AD．

∴d=|AD﹣BD|=|ED﹣BD|．

∵当点E、B、D不在同一条直线上时，d=|ED﹣BD|＜BE，当点E、B、D在同一条直线上时，d=|ED﹣BD|=BE，

∴d的最大值=BE= = ．

∵OB∥DF，

∴△EOB∽△EFD．

∴ = ，即 = ，解得：DF=4．

∴D（1，﹣4）．

【解析】（1）根据直线与坐标轴的交点得出点A、C坐标，再根据待定系数法求得抛物线解析式；（2）设点M（x， x2﹣ x﹣2），过点M作x轴的垂线，交直线y=﹣ x+4于点N，先求出四边形BMNC的面积S1= （BC+MN）x=6x﹣ x3 ， △ANM的面积S2= MN（3﹣x）= x3﹣x2﹣3x+9，根据四边形BMAC的面积S=S1+S2得到四边形的面积与x的函数关系式，然后利用配方法求解即可；（3）记抛物线与x轴的另一个交点为E，抛物线的对称轴与x轴的交点为F，当点E、B、D在同一条直线上时，d有最大值，然后证明△EOB∽△EFD，依据相似三角形的性质可求得DF的长，从而可得到点D的坐标．
【考点精析】掌握二次函数的图象和二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．