题目内容

【题目】如图,在直角坐标系中,OC ODOC OD DC 的延长线交 y 轴正半轴上点 B ,过点C CA BD x 轴负半轴于点A

1)如图1,求证:OAOB

2)如图1,连AD,作OM ACAD于点M,求证: BC 2OM

3)如图2,点EOC 的延长线上一点,连DE,过点DDFDEDF DE ,连CF DO 的延长线于点G OG 4,求CE 的长.

【答案】1)见解析;(2)见解析;(3CE=OT=8

【解析】

1)由OCODCABD知∠COD=BCA=AOB=90°,从而得∠AOC=BOD,∠OBD=OAC,结合OC=OD△AOC≌△BOD可得答案;

2)作ANOD,交OM延长线于点N,先证△BOC≌△OANBC=ONAN=OC=OD,再证△AMN≌△DMOOM=MN=ON,从而得证;

3)作FTDG,交DG延长线于点T,先证△FTD≌△DOEFT=OD=OCDT=OE,再证△FTG≌△COGOT=2OG=8,根据OE=DTOC=OD可得CE=OT

解:(1)∵OCODCABD

∴∠COD=BCA=AOB=90°

∴∠BOC+COE=90°, DOE+COE=90°,

∴∠BOC=DOE,

∴∠AOC=BOD

同理可证∠OBD=OAC

△AOC△BOD中,

∴△AOC≌△BODAAS),

OA=OB

2)如图1,过点AANOD,交OM延长线于点N

则∠OAN+AOD=180°

∵∠AOB=COD=90°

∴∠AOD+BOC=180°

∴∠OAN=BOC

又∵OMAC

∴∠AON=CAO

由(1)知∠CAO=OBC

∴∠AON=OBC

又∵OA=OB

∴△BOC≌△OANASA),

BC=ONAN=OC=OD

ANOD

∴∠MAN=MDO,∠MNA=MOD

∴△AMN≌△DMOASA),

OM=MN=ON,即ON=2OM

BC=2OM

3)如图2,过点FFTDG,交DG延长线于点T

则∠FTD=DOE=90°

∴∠ODE+OED=90°

又∵DEDF

∴∠ODE+FDT=90°

∴∠OED=TDF

DE=DF

∴△FTD≌△DOEAAS),

FT=ODDT=OE

OD=OC

FT=OC

∵∠FTG=COG=90°,∠FGT=CGO

∴△FTG≌△COGAAS),

OT=2OG=8

OE=DTOC=OD

CE=OT=8

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