Question

如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x²+bx+c经过原点O和点P，已知矩形的三个顶点为A（1，0），B（1，-5），D（4，0）．当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB、CD交于点M、N．
（1）你认为∠AMP的大小会随点M位置的变化而变化吗？若变化，说明理由，若不变，求出∠AMP的大小．    
（2）把△MPN的面积S用t表示出来．  
（3）若△MPN的面积S=

21

8

，求此时图象过M、N两点的一次函数解析式；若E是此时抛物线MN段上的一动点，当三角形MNE面积最大时，E点的坐标是多少？（结果可直接写出）

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）表示出点P的坐标，然后把点O、P的坐标代入抛物线解析式求出b、c的值，即可得到抛物线解析式，然后求出点M的坐标，从而得到AM=AP，然后求出∠AMP=45°不变；
（2）设CD与MP交点为Q，表示出MP的解析式，然后表示出QN，再根据S_△MNP=S_△MNQ+S_△PNQ列式整理即可得解；
（3）把S=

21

8

代入函数关系式求出t的值，再求出点M、N的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；用t表示出M、N的坐标，再利用待定系数法求出直线MN的解析式，设点E的横坐标为x，过点E作EF∥y轴交MN于F，表示出EF的长度，再利用三角形的面积表示出△MNE的面积，然后根据二次函数的最值问题解答．

解答：解：（1）由题意得，点P的坐标为（t，0），
∵抛物线y=x²+bx+c经过原点O和点P，
∴

c=0 t2+bt+c=0

，
解答

b=-t c=0

，
∴抛物线解析式为y=x²-tx，
∵A（1，0），
∴x=1时，y=1-t，
∴AM=t-1，AP=t-1，
∴AM=AP，
∴∠AMP=45°是定值，∠AMP的大小不会随点M位置的变化而变化；

（2）设CD与MP交点为Q，
易求直线MP的解析式为y=x-t，
∴NQ=（4-t）-（4²-4t）=3t-12，
∴S_△MNP=S_△MNQ+S_△PNQ，
=

1

2

（3t-12）×（t-1），
=

3

2

t²-

15

2

t+6，
即S=

3

2

t²-

15

2

t+6；

（3）S=

21

8

时，

3

2

t²-

15

2

t+6=

21

8

，
整理得，4t²-20t+9=0，
解得t₁=

1

2

（舍去），t₂=

9

2

，
x=1时，y=1²-

9

2

×1=-

7

2

，
x=4时，y=4²-

9

2

×4=-2，
∴M（1，-

7

2

），N（4，-2），
设直线MN的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

k+b=- 7 2 4k+b=-2

，
解得

k= 1 2 b=-4

，
∴直线MN的解析式为y=

1

2

x-4；
∵点M、N在抛物线y=x²-tx图象上，
∴点M（1，1-t），N（4，16-4t），
设直线MN的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

k+b=1-t 4k+b=16-4t

，
解得

k=5-t b=-4

，
∴直线MN的解析式为y=（5-t）x-4，
如图，设点E的横坐标为x，过点E作EF∥y轴交MN于F，
则EF=（5-t）x-4-（x²-tx）=-x²+5x-4，
∴△MNE的面积=

1

2

EF•|y_N-y_M|=

1

2

（-x²+5x-4）×（4-1）=-

3

2

（x-

5

2

）²+

123

8

，
∵a=-

3

2

＜0，
∴x=

5

2

时，△MNE面积最大，
此时，y=（

5

2

）²-

5

2

t=

25

4

-

5

2

t，
∴点E的坐标为（

5

2

，

25

4

-

5

2

t）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，以及二次函数的最值问题，（2）（3）两问把三角形的面积分成两个三角形的面积的和列式整理是解题的关键，也是本题的难点．