题目内容
如图,已知正方形ABCD中,点O为边AB上一点,以O为圆心,OB的长为半径的⊙O交边AD于点E,过点O作BE的垂线交边BC的延长线于点F,连接EF交CD于点G,再连接BG.
(1)求证:∠EBG=45°;
(2)若DE=2AE,求tan∠DEF的值.
(1)求证:∠EBG=45°;
(2)若DE=2AE,求tan∠DEF的值.
考点:圆的综合题
专题:证明题
分析:(1)作BH⊥EF于H,连结OE,由OF⊥BE,根据垂径定理得OF平分BE,根据等腰三角形的性质得∠FOE=∠FOB,则可利用“SAS”判断△FOB≌△FOE,则∠OBF=∠OEF=90°,于是得到OE∥BH,根据平行线的性质得∠2=∠5,再证明出∠1=∠2,易证得Rt△BAE≌Rt△BHE,得到∠3=∠4,利用∠1+∠2+∠3+∠4=90°得到∠2+∠3=45°;
(2)设AE=a,则DE=2a,AB=3a,在Rt△AOE中,OE=OB=3a-OA,然后根据勾股定理可得到OA=
a,再根据正切的定义得到tan∠7=
,由OE∥BH得到∠OEG=90°,然后根据等角的余角相等得到∠7=∠8,所以tan∠8=
.
(2)设AE=a,则DE=2a,AB=3a,在Rt△AOE中,OE=OB=3a-OA,然后根据勾股定理可得到OA=
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解答:(1)证明:作BH⊥EF于H,连结OE,如图,
∵OF⊥BE,
∴OF平分BE,
∴OF为等腰三角形OBE的顶角的平分线,即∠FOE=∠FOB,
在△FOB和△FOE中,
,
∴△FOB≌△FOE(SAS),
∴∠OBF=∠OEF=90°,
∴OE∥BH,
∴∠2=∠5,
∵OE=OB,
∴∠1=∠5,
∴∠1=∠2,
在Rt△BAE和Rt△BHE中
,
∴Rt△BAE≌Rt△BHE(AAS),
∴BA=BH,
而BA=BC,
∴BH=BC,
在Rt△BGH和Rt△BGC中
,
∴Rt△BGH≌Rt△BGC(HL),
∴∠3=∠4,
而∠1+∠2+∠3+∠4=90°,
∴∠2+∠3=45°,
即∠EBG=45°;
(2)解:设AE=a,则DE=2a,AB=3a,
在Rt△AOE中,OE=OB=3a-OA,
∵OA2+AE2=OE2,
∴OA2+a2=(3a-OA)2,
∴OA=
a,
∴tan∠7=
=
=
,
又∵OE∥BH,
∴∠OEG=90°,
∴∠6+∠8=90°,
而∠6+∠7=90°,
∴∠7=∠8,
∴tan∠8=
,
即tan∠DEF=
.
∵OF⊥BE,
∴OF平分BE,
∴OF为等腰三角形OBE的顶角的平分线,即∠FOE=∠FOB,
在△FOB和△FOE中,
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∴△FOB≌△FOE(SAS),
∴∠OBF=∠OEF=90°,
∴OE∥BH,
∴∠2=∠5,
∵OE=OB,
∴∠1=∠5,
∴∠1=∠2,
在Rt△BAE和Rt△BHE中
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∴Rt△BAE≌Rt△BHE(AAS),
∴BA=BH,
而BA=BC,
∴BH=BC,
在Rt△BGH和Rt△BGC中
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∴Rt△BGH≌Rt△BGC(HL),
∴∠3=∠4,
而∠1+∠2+∠3+∠4=90°,
∴∠2+∠3=45°,
即∠EBG=45°;
(2)解:设AE=a,则DE=2a,AB=3a,
在Rt△AOE中,OE=OB=3a-OA,
∵OA2+AE2=OE2,
∴OA2+a2=(3a-OA)2,
∴OA=
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∴tan∠7=
AE |
AO |
a | ||
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又∵OE∥BH,
∴∠OEG=90°,
∴∠6+∠8=90°,
而∠6+∠7=90°,
∴∠7=∠8,
∴tan∠8=
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即tan∠DEF=
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点评:本题考查了圆的综合题:熟练掌握垂径定理、等腰三角形的性质和正方形的性质;会运用三角形全等证明线段相等.
练习册系列答案
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