Question

如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与AB，BC都相切，点E，F分别在边AD，DC上，现将△DEF沿EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处，若DE=2，则正方形ABCD的边长是______．

Answer 1

∵沿EF折叠D和O重合，EF与⊙O切于M，
∴OM=MD，OE=ED=2，DF=OF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EDO=45°=∠FDO=∠DOF，∠ADF=∠EOF=90°，
∴∠DFO=90°，
即四边形EOFD是正方形，
DF=DE=OF=2，
在△DFO中，由勾股定理得：DO=

22+22

=2

2

，
∴OM=

2

，
延长FO交AB于Q，延长EO交BC于R，
则OQ⊥AB，OR⊥BC，
则⊙O切AB于Q，切BC于R，
∴OQ=OR，
∴∠OQB=∠ORB=∠QBR=90°，
∴四边形BQOR是正方形，
∴BQ=OQ=OR=BR=OM=

2

，
∵四边形AQOE是矩形，
∴AQ=EO=2，
∴正方形ABCD的边长是2+

2

，
故答案为：2+

2

．