题目内容
【题目】如图，二次函数y= 
x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．
【答案】
（1）
解：∵二次函数y= 
x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），
∴ 
，
解得 
，
∴y= x2﹣ 
x﹣4．
∴C（0，﹣4）
（2）
解：方法（1）：存在．
如图1，过点Q作QD⊥OA于D，此时QD∥OC，
∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），O（0，0），
∴AB=4，OA=3，OC=4，
∴AC= 
=5，
∵当点P运动到B点时，点Q停止运动，AB=4，
∴AQ=4．
∵QD∥OC，
∴ 
，
∴ 
，
∴QD= 
，AD= 
．
①作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE=EQ，即△AEQ为等腰三角形，
设AE=x，则EQ=x，DE=AD﹣AE=| ﹣x|，
∴在Rt△EDQ中，（ ﹣x）2+（ ）2=x2，解得 x= 
，
∴OA﹣AE=3﹣ =﹣ 
，
∴E（﹣ ，0），
说明点E在x轴的负半轴上；
②以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE=QA=4，
∵ED=AD= ，
∴AE= 
，
∴OA﹣AE=3﹣ =﹣ 
，
∴E（﹣ ，0）．
③当AE=AQ=4时，
（i）．当E在A点左边时，
∵OA﹣AE=3﹣4=﹣1，
∴E（﹣1，0）．
（ii）．当E在A点右边时，
∵OA+AE=3+4=7，
∴E（7，0）．
综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（﹣ ，0）或（﹣ ，0）或（﹣1，0）或（7，0）
方法二：
∵点P、Q同时从A点出发，都已每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC运动．过点Q作x轴垂线，垂足为H．
∵A（3，0），C（0，4），
∴lAC：y= x﹣4，
∵点P运动到B点时，点Q停止运动，
∴AP=AQ=4，
∴QH= ，Qy=﹣ ，
代入LAC：y= x﹣4得，Qx= 
，则Q（ ，﹣ ），
∵点E在x轴上，
∴设E（a，0），
∵A（3，0），Q（ ，﹣ ），△AEQ为等腰三角形，
∴AE=EQ，AE=AQ，EQ=AQ，
∴（a﹣3）2=（a﹣ ）2+（0+ ）2，∴a=﹣ ，
（a﹣3）2=（3﹣ ）2+（0+ ）2，∴a1=7，a2=﹣1，
（a﹣ ）2+（0+ ）2=（3﹣ ）2+（0+ ）2，∴a1=﹣ ，a2=3（舍）
∴点E的坐标为（﹣ ，0）或（﹣ ，0）或（﹣1，0）或（7，0）
（3）
解：方法（1）：四边形APDQ为菱形，D点坐标为（﹣ 
，﹣ 
）．理由如下：
如图2，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQ⊥AP于F，
∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，
∴AP=AQ=QD=DP，
∴四边形AQDP为菱形，
∵FQ∥OC，
∴ 
，
∴ 
，
∴AF= 
，FQ= 
，
∴Q（3﹣ ，﹣ ），
∵DQ=AP=t，
∴D（3﹣ ﹣t，﹣ ），
∵D在二次函数y= x2﹣ x﹣4上，
∴﹣ = （3﹣ 
t）2﹣ （3﹣ t）﹣4，
∴t= 
，或t=0（与A重合，舍去），
∴D（﹣ ，﹣ ）
方法二：
∵P，Q运动到t秒，
∴设P（3﹣t，0），Q（3﹣ t，﹣ 
t），
∴KPQ= 
，KPQ=﹣2，
∵AD⊥PQ，
∴KPQKAD=﹣1，
∴KAD= 
span> ，
∵A（3，0），
∴lAD：y= x﹣ 
，
∵y= 
，
∴x1=3（舍），x2=﹣ ，
∴D（﹣ ，﹣ ），
∵DY=QY，即﹣ t=﹣ ，t= ，DQ∥AP，DQ=AQ=AP，此时四边形APDQ的形状为菱形．
【解析】（1）将A，B点坐标代入函数y= x2+bx+c中，求得b、c，进而可求解析式及C坐标．（2）等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ．借助垂直平分线，画圆易得E大致位置，设边长为x，表示其他边后利用勾股定理易得E坐标．（3）注意到P，Q运动速度相同，则△APQ运动时都为等腰三角形，又由A、D对称，则AP=DP，AQ=DQ，易得四边形四边都相等，即菱形．利用菱形对边平行且相等等性质可用t表示D点坐标，又D在E函数上，所以代入即可求t，进而D可表示．
