题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx-的图象经过点A(-1,0)、C(2,0),与y轴交于点B,其对称轴与x轴交于点D
(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标;
(2)M(s,t)为抛物线对称轴上的一个动点,
①若平面内存在点N,使得A、B、M、N为顶点的四边形为矩形,直接写出点M的坐标;
②连接MA、MB,若∠AMB不小于60°,求t的取值范围.
【答案】(1)y=x2-
x-
,顶点坐标是(
,
)(2)①(
,
),(
,-
)或(
,-
)②
≤t≤
【解析】
(1)根据二次函数y=ax2+bx-的图象经过点A(-1,0)、C(2,0),可以求得该函数的解析式,然后将函数解析式化为顶点式,即可得到该函数的顶点坐标;
(2)①根据题意,画出相应的图形,然后利用分类讨论的方法即可求得点M的坐标;
②根据题意,构造一个圆,然后根据圆周角与圆心角的关系和∠AMB不小于60°,即可求得t的取值范围.
(1)∵二次函数y=ax2+bx-的图象经过点A(-1,0)、C(2,0),
∴,得
,
∴y=x2-
x-
=
,
∴二次函数的表达式是y=x2-
x-
,顶点坐标是(
,
);
(2)①点M的坐标为(,
),(
,-
)或(
,-
)
理由:当AM1⊥AB时,如右图1所示,
∵点A(-1,0),点B(0,-),
∴OA=1,OB=,
∴tan∠BAO==
,
∴∠BAO=60°,
∴∠OAM1=30°,
∴tan∠OAM1=,
解得,DM1=,
∴M1的坐标为(,
);
当BM3⊥AB时,
同理可得,,解得,DM3=
,
∴M3的坐标为(,-
);
当点M2到线段AB的中点的距离等于线段AB的一半时,
∵点A(-1,0),点B(0,-),
∴线段AB中点的坐标为(-),线段AB的长度是2,
设点M2的坐标为(,m),
则=1,解得,m=
,
即点M2的坐标为(,-
);
由上可得,点M的坐标为(,
),(
,-
)或(
,-
);
②如图2所示,作AB的垂直平分线,于y轴交于点F,
由题意知,AB=2,∠BAF=∠ABO=30°,∠AFB=120°,
∴以F为圆心,AF长为半径作圆交对称轴于点M和M′点,
则∠AMB=∠AM′B=∠AFB=60°,
∵∠BAF=∠ABO=30°,OA=1,
∴∠FAO=30°,AF==FM=FM′,OF=
,
过点F作FG⊥MM′于点G,
∵FG=,
∴MG=M′G=,
又∵G(,-
),
∴M(,
),M′(
,
),
∴≤t≤
.
