题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx-的图象经过点A-10)、C20),与y轴交于点B,其对称轴与x轴交于点D

1)求二次函数的表达式及其顶点坐标;

2Mst)为抛物线对称轴上的一个动点,

①若平面内存在点N,使得ABMN为顶点的四边形为矩形,直接写出点M的坐标;

②连接MAMB,若∠AMB不小于60°,求t的取值范围.

【答案】(1)y=x2-x-,顶点坐标是()(2)①(),(-)或(-)②t

【解析】

1)根据二次函数y=ax2+bx-的图象经过点A-10)、C20),可以求得该函数的解析式,然后将函数解析式化为顶点式,即可得到该函数的顶点坐标;

2)①根据题意,画出相应的图形,然后利用分类讨论的方法即可求得点M的坐标;

②根据题意,构造一个圆,然后根据圆周角与圆心角的关系和∠AMB不小于60°,即可求得t的取值范围.

1)∵二次函数y=ax2+bx-的图象经过点A-10)、C20),

,得

y=x2-x-=

∴二次函数的表达式是y=x2-x-,顶点坐标是();

2)①点M的坐标为(),(-)或(-

理由:当AM1AB时,如右图1所示,

∵点A-10),点B0-),

OA=1OB=

tanBAO==

∴∠BAO=60°

∴∠OAM1=30°

tanOAM1=

解得,DM1=

M1的坐标为();

BM3AB时,

同理可得,,解得,DM3=

M3的坐标为(-);

当点M2到线段AB的中点的距离等于线段AB的一半时,

∵点A-10),点B0-),

∴线段AB中点的坐标为(-),线段AB的长度是2

设点M2的坐标为(m),

=1,解得,m=

即点M2的坐标为(-);

由上可得,点M的坐标为(),(-)或(-);

②如图2所示,作AB的垂直平分线,于y轴交于点F

由题意知,AB=2,∠BAF=ABO=30°,∠AFB=120°

∴以F为圆心,AF长为半径作圆交对称轴于点MM′点,

则∠AMB=AM′B=AFB=60°

∵∠BAF=ABO=30°OA=1

∴∠FAO=30°AF==FM=FM′OF=

过点FFGMM′于点G

FG=

MG=M′G=

又∵G-),

M),M′),

≤t≤

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