题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx-
的图象经过点A（-1，0）、C（2，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点，
①若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，直接写出点M的坐标；
②连接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．
【答案】（1）y=
x2-x-
，顶点坐标是（
，
）（2）①（，），（，-）或（，-
）②
≤t≤
【解析】
（1）根据二次函数y=ax2+bx-
的图象经过点A（-1，0）、C（2，0），可以求得该函数的解析式，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标；
（2）①根据题意，画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法即可求得点M的坐标；
②根据题意，构造一个圆，然后根据圆周角与圆心角的关系和∠AMB不小于60°，即可求得t的取值范围．
（1）∵二次函数y=ax2+bx-
的图象经过点A（-1，0）、C（2，0），
∴
，得
，
∴y=
x2-x-=
，
∴二次函数的表达式是y=x2-x-，顶点坐标是（
，
）；
（2）①点M的坐标为（，），（，-）或（，-
）
理由：当AM1⊥AB时，如右图1所示，
∵点A（-1，0），点B（0，-），
∴OA=1，OB=，
∴tan∠BAO=
=，
∴∠BAO=60°，
∴∠OAM1=30°，
∴tan∠OAM1=
，
解得，DM1=，
∴M1的坐标为（，）；
当BM3⊥AB时，
同理可得，
，解得，DM3=，
∴M3的坐标为（，-）；
当点M2到线段AB的中点的距离等于线段AB的一半时，
∵点A（-1，0），点B（0，-），
∴线段AB中点的坐标为（-
），线段AB的长度是2，
设点M2的坐标为（，m），
则
=1，解得，m=
，
即点M2的坐标为（，-）；
由上可得，点M的坐标为（，），（，-）或（，-）；
②如图2所示，作AB的垂直平分线，于y轴交于点F，
由题意知，AB=2，∠BAF=∠ABO=30°，∠AFB=120°，
∴以F为圆心，AF长为半径作圆交对称轴于点M和M′点，
则∠AMB=∠AM′B=∠AFB=60°，
∵∠BAF=∠ABO=30°，OA=1，
∴∠FAO=30°，AF=
=FM=FM′，OF=
，
过点F作FG⊥MM′于点G，
∵FG=，
∴MG=M′G=
，
又∵G（，-），
∴M（，），M′（，），
∴≤t≤．
