题目内容

【题目】如图,AMABC的中线,D是线段AM上一点(不与点A重合)DEABAC于点F,CEAM,连结AE.

(1)如图1,当点DM重合时,求证:四边形ABDE是平行四边形;

(2)如图2,当点D不与M重合时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.

(3)如图3,延长BDAC于点H,BHAC,BH=AM

①求∠CAM的度数;

②当FH=, DM=4,DH的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)见解析.

【解析】试题分析:(1)只要证明AE=BMAEBM即可解决问题;

2)成立.如图2中,过点MMGDECEG.由四边形DMGE是平行四边形,推出ED=GM,且EDGM,由(1)可知AB=GMABGM,可知ABDEAB=DE,即可推出四边形ABDE是平行四边形;

3)①如图3中,取线段HC的中点I,连接MI,只要证明MI=AMMIAC,即可解决问题;

②设DH=x,则AH=xAD=2x,推出AM=4+2xBH=4+2x,由四边形ABDE是平行四边形,推出DFAB,推出,可得,解方程即可;

试题解析:(1)如图1中,∵DEAB,∴∠EDC=∠ABM

CEAM,∴∠ECD=∠ADB

AM是△ABC的中线,且DM重合,∴BD=DC,∴△ABD≌△EDC

AB=ED,∵ABED,∴四边形ABDE是平行四边形.

2)结论:成立.理由如下:

如图2中,过点MMGDECEG

CEAM,∴四边形DMGE是平行四边形,∴ED=GM,且EDGM

由(1)可知AB=GMABGM,∴ABDEAB=DE,∴四边形ABDE是平行四边形;

3)①如图3中,取线段HC的中点I,连接MI

BM=MC,∴MI是△BHC的中位线,∴MIBHMI=BH

BHAC,且BH=AM,∴MI=AMMIAC,∴∠CAM=30°.

②设DH=x,则AH=xAD=2x,∴AM=4+2x,∴BH=4+2x

∵四边形ABDE是平行四边形,∴DFAB,∴

,解得x=(舍弃),

DH=

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