题目内容
【题目】如图,AM是△ABC的中线,D是线段AM上一点(不与点A重合)DE∥AB交AC于点F,CE∥AM,连结AE.
(1)如图1,当点D与M重合时,求证:四边形ABDE是平行四边形;
(2)如图2,当点D不与M重合时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.
(3)如图3,延长BD交AC于点H,若BH⊥AC,且BH=AM
①求∠CAM的度数;
②当FH=
, DM=4时,求DH的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）见解析.
【解析】试题分析：（1）只要证明AE=BM，AE∥BM即可解决问题；
（2）成立．如图2中，过点M作MG∥DE交CE于G．由四边形DMGE是平行四边形，推出ED=GM，且ED∥GM，由（1）可知AB=GM，AB∥GM，可知AB∥DE，AB=DE，即可推出四边形ABDE是平行四边形；
（3）①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，只要证明MI=
AM，MI⊥AC，即可解决问题；
②设DH=x，则AH=
x，AD=2x，推出AM=4+2x，BH=4+2x，由四边形ABDE是平行四边形，推出DF∥AB，推出
，可得
，解方程即可；
试题解析：（1）如图1中，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠ABM，
∵CE∥AM，∴∠ECD=∠ADB，
∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，∴BD=DC，∴△ABD≌△EDC，
∴AB=ED，∵AB∥ED，∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）结论：成立．理由如下：
如图2中，过点M作MG∥DE交CE于G．
∵CE∥AM，∴四边形DMGE是平行四边形，∴ED=GM，且ED∥GM，
由（1）可知AB=GM，AB∥GM，∴AB∥DE，AB=DE，∴四边形ABDE是平行四边形；
（3）①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，
∵BM=MC，∴MI是△BHC的中位线，∴MI∥BH，MI=BH，
∵BH⊥AC，且BH=AM，∴MI=AM，MI⊥AC，∴∠CAM=30°．
②设DH=x，则AH=x，AD=2x，∴AM=4+2x，∴BH=4+2x，
∵四边形ABDE是平行四边形，∴DF∥AB，∴，
∴，解得x=
或
（舍弃），
∴DH=．
