Question

已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）M(m,n)是反比例函数图像上的一动点,其中0<m<3,过M作直线MB‖x轴交y轴于点B。过点A作直线AC∥y轴交于点C，交直线MB于点D，当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由；
（4）探索：x轴上是否存在点P,使ΔOAP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1），y=x；（2）0＜x＜3；（3）BM=DM，理由见解析；（4）存在，P（，0）或（-，0）或（6，0）或P（，0）．

解析试题分析：（1）将A（3，2）分别代入，y=ax中，得ak的值，进而可得正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）观察图象，得在第一象限内，当0＜x＜3时，反比例函数的图象在正比例函数的上方；故反比例函数的值大于正比例函数的值；
（3）有S_△OMB=S_△OAC=×|k|=3，可得S矩形OBDC为12；即OC•OB=12；进而可得mn的值，故可得BM与DM的大小；比较可得其大小关系．
（4）存在．由（3）可知D（3，4），根据矩形的性质得A（3，2），分为OA为等腰三角形的腰，OA为等腰三角形的底，分别求P点坐标．
试题解析：（1）将A（3，2）分别代入，y=ax中，得：，3a=2
∴k=6，a=
∴反比例函数的表达式为：，正比例函数的表达式为y=x；
（2）观察图象，得在第一象限内，当0＜x＜3时，反比例函数的值大于正比例函数的值．
（3）BM=DM.
理由：∵MN∥x轴，AC∥y轴，
∴四边形OCDB是平行四边形，
∵x轴⊥y轴，
∴?OCDB是矩形．
M和A都在双曲线上，
∴BM×OB=6，OC×AC=6，
∴S_△OMB=S_△OAC=×|k|=3，又S四边形OADM=6，
∴S_矩形OBDC=S_{四边形OADM}+S_△OMB+S_△OAC=3+3+6=12，
即OC•OB=12
∵OC=3
∴OB=4
即n=4
∴
∴，MD=3-=.
∴MB=MD．
（4）存在．
由（2）得A（3，2），OA=
当OA为等腰三角形的腰时，P（，0）或（-，0）或（6，0），
当OA为等腰三角形的底，P（，0）．
∴满足条件的P点坐标为P（，0）或（-，0）或（6，0）或P（，0）．
考点：反比例函数综合题．