Question

定义：如果一个y与x的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合，那么称这个函数是y与x的“反比例平移函数”．例如：的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象，则是y与x的“反比例平移函数”．
（1）若矩形的两边分别是2cm、3cm，当这两边分别增加x（cm）、y（cm）后，得到的新矩形的面积为8cm²，求y与x的函数表达式，并判断这个函数是否为“反比例平移函数”．
（2）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（9，0）、（0，3）．点D是OA的中点，连接OB、CD交于点E，“反比例平移函数”的图象经过B、E两点．则这个“反比例平移函数”的表达式为           ；这个“反比例平移函数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，请写出这个反比例函数的表达式．
（3）在（2）的条件下，已知过线段BE中点的一条直线l交这个“反比例平移函数”图象于P、Q两点（P在Q的右侧），若B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请求出点P的坐标．

Answer 1

（1），是；（2），；（3）（7，5）或（15，）．

解析试题分析：（1）根据新矩形的面积为8cm²，则长乘以宽等于面积，即可得到一个关于x，y的方程，即可变形成函数的形式，进行判断.
（2）把B和D的坐标代入即可列方程求得a、k的值，则函数解析式即可求解.
（3）由反比例函数的中心对称性，四边形PEQB为平行四边形，设P₁（x₀，y₀），根据S_△OP1E=S_{四边形ONMC}-S_△OCP1-S_△MP1E-S_△ONE．即可列方程求解．
试题解析：（1）∵（x+2）（y+3）=8，
∴向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到.
∴是“反比例平移函数”．
（2）把B和D的坐标代入得：，解得：.
则“反比例平移函数”的表达式为.
故变换后的反比例函数表达式为.
（3）如图，当点P在点B左侧时，设线段BE的中点为F，由反比例函数中心对称性，四边形PEQB为平行四边形．
∵四边形PEQB的面积为16，∴S_△PFE=4，
∵B（9，3），F（6，2）．是的“反比例平移函数”，
∴S_△PFE=S_△POE=4，点E的坐标是：（3，1）.
过E作x轴的垂线，与BC、x轴分别交于M、N点．
S_△OP1E=S_{四边形ONMC}-S_△OCP1-S_△MP1E-S_△ONE．
设P₁（x₀，y₀），
∴，即，解得.
∴P₁（1，3），
∴点P的坐标为（7，5）．
当点P在点B右侧时，同理可得点P的坐标为（15，）．
综上所述，点P的坐标为（7，5）或（15，）．

考点：1.反比例函数综合题；2.新定义；3.平移的性质；4.转换思想和分类思想的应用．