Question

【题目】小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，得：w=（x﹣20）y=（x﹣20）（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000，即w=﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32）
（2）解：对于函数w=﹣10x2+700x﹣10000的图象的对称轴是直线 ．

又∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下．∴当20≤x≤32时，W随着X的增大而增大，

∴当x=32时，W=2160

答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元

（3）解：取W=2000得，﹣10x2+700x﹣10000=2000

解这个方程得：x1=30，x2=40．

∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下．

∴当30≤x≤40时，w≥2000．

∵20≤x≤32

∴当30≤x≤32时，w≥2000．

设每月的成本为P（元），由题意，得：P=20（﹣10x+500）=﹣200x+10000

∵k=﹣200＜0，

∴P随x的增大而减小．

∴当x=32时，P的值最小，P最小值=3600．

答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元

【解析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．