Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．

（1）求证：点D是AB的中点；

（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（3）若⊙O的直径为10，tanB＝3，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DE是⊙O的切线，证明见解析；（3）3

【解析】

（1）连接CD，利用圆中直径所对的圆周角等于90°以及等腰三角形的性质即可解决问题；

（2）连接OD，先得出OD为△ABC的中位线，再由平行线的性质可证明DE⊥OD，从而得出结论；

（3）在Rt△BCD中，tanB＝＝3，设BD＝k，则CD＝3k，则根据勾股定理可求出k的值，然后利用面积法可知ADDC＝ACDE，由此即可解决问题．

（1）证明：连接CD．

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BDC＝90°，

∴CD⊥AB，

∵CB＝CA，

∴BD＝AD，

∴点D是AB的中点；

（2）解：结论：DE是⊙O的切线．

证明如下：连接OD．

∵BD＝AD，BO＝OC，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切线；

（3）解：在Rt△BCD中，tanB＝＝3，设BD＝k，则CD＝3k，

则根据勾股定理得：9k2+k2＝100，

∴k＝或﹣（舍去），

∴CD＝3，AD＝BD＝，AC＝CB＝10，

∵S△ACD=ADDC＝ACDE，

∴DE＝＝3．