题目内容
【题目】实验探究:
(1)动手操作:
①如图1,将一块直角三角板DEF放置在直角三角板ABC上,使三角板DEF的两条直角边DE、DF分别经过点B、C,且BC∥EF,已知∠A=30°,则∠ABD+∠ACD=
②如图2,若直角三角板ABC不动,改变等腰直角三角板DEF的位置,使三角板DEF的两条直角边DE、DF仍然分别经过点B、C,那么∠ABD+∠ACD=
(2)猜想证明:
如图3,∠BDC与∠A、∠B、∠C之间存在着 关系
(3)灵活应用:
请你直接利用以上结论,解决以下列问题:
①如图4,BE平分∠ABD,CE平分∠ACB,若∠BAC=40°,∠BDC=120°,∠BEC
②如图5,∠ABD,∠ACD的10等分线相交于点F1、F2、…、F9 ,
若∠BDC=120°,∠BF3C=64°,则∠A的度数为
【答案】60°;60°;猜想:∠A+∠B+∠C=∠BDC;证明:连接BC,在△DBC中,∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°,∴∠DBC+∠DCB=180°﹣∠BDC;在Rt△ABC中,∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°,即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A=180°,而∠DBC+∠DCB=180°﹣∠BDC,∴∠A+∠ABD+∠ACD=180°﹣(180°﹣∠BDC)=∠BDC,即:∠A+∠B+∠C=∠BDC.;80°;40°
【解析】解:(1)动手操作:
①∵BC∥EF,
∴∠DBC=∠E=∠F=∠DCB=45°,
∴∠ABD=90°﹣45°=45°,∠ACD=60°﹣45°=15°,
∴∠ABD+∠ACD=60°;
②在△DBC中,∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°,
而∠D=90°,
∴∠DBC+∠DCB=90°;
在Rt△ABC中,
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°,
即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A=180°,
而∠DBC+∠DCB=90°,
∴∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A=60°.
故答案为60°;60°;
(2)猜想:∠A+∠B+∠C=∠BDC;
证明:连接BC,
在△DBC中,∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°,
∴∠DBC+∠DCB=180°﹣∠BDC;
在Rt△ABC中,
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°,
即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A=180°,
而∠DBC+∠DCB=180°﹣∠BDC,
∴∠A+∠ABD+∠ACD=180°﹣(180°﹣∠BDC)=∠BDC,
即:∠A+∠B+∠C=∠BDC.
(3)灵活应用:
①由(2)可知∠A+∠ABD+∠ACD=∠BDC,∠A+∠ABE+∠ACE=∠BEC,
∵∠BAC=40°,∠BDC=120°,
∴∠ABD+∠ACD=120°﹣40°=80°
∵BE平分∠ABD,CE平分∠ACB,
∴∠ABE+∠ACE=40°,
∴∠BEC=40°+40°=80°;
②由(2)可知:∠A+∠ABD+∠ACD=∠BDC=120°,∠ABF3+∠ACF3=∠BF3C=64°,
∵∠ABF3=∠ABD,∠ACF3=∠ACD,
∴ABD+∠ACD=120°﹣∠A,∠A+(∠ABD+∠ACD)=64°,
∴∠A+(120°﹣∠A)=64°,
∴∠A=40°,
故答案为40°.
(1)在△DBC中,根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB+∠D=180°,然后把∠D=90°代入计算即可;
(2)根据三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB+∠A=180°,∠DBC+∠DCB+∠D=180°,即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A=180°,即可求得∠A+∠ABD+∠ACD=180°﹣(180°﹣∠BDC)=∠BDC;
(3)应用(2)的结论即可求得.