Question

（本小题满分14分）如图9，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动.如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s.

（1）求∠OAB的度数.
（2）以OB为直径的⊙O‘与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O‘相切？
（3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值.
（4）是否存在△APQ为等腰三角形，若存在，求出相应的t值，若不存在请说明理由.

Answer 1

（1）∠OAB=30°
（2）t=3时，PM与⊙O‘相切
（3）
（4）当t=2，t=3.6，t=-18时，△APQ是等腰三角形.

解：（1）在Rt△AOB中：
tan∠OAB=
∴∠OAB=30°
（2）如图10，连接O‘P，O‘M. 当PM与⊙O‘相切时，有∠PM O‘=∠PO O‘=90°，
△PM O‘≌△PO O‘

由（1）知∠OBA=60°
∵O‘M= O‘B
∴△O‘BM是等边三角形
∴∠B O‘M=60°可得∠O O‘P=∠M O‘P=60°
∴OP=" O" O‘·tan∠O O‘P =6×tan60°=
又∵OP=t
∴t=，t=3
即：t=3时，PM与⊙O‘相切.
（3）如图9，过点Q作QE⊥x于点E
∵∠BAO=30°，AQ=4t
∴QE=AQ=2t
AE=AQ·cos∠OAB=4t×
∴OE=OA-AE=-t
∴Q点的坐标为（-t，2t）
S△PQR= S△OAB -S△OPR -S△APQ -S△BRQ
=
=
=  （）
当t=3时，S△PQR最小=
（4）分三种情况：如图11.

1当AP=AQ1=4t时，
∵OP+AP=
∴t+4t=
∴t=
或化简为t=-18
2当PQ2=AQ2=4t时
过Q2点作Q2D⊥x轴于点D，
∴PA="2AD=2A" Q2·cosA=t
即t+t =
∴t=2
3当PA=PQ3时，过点P作PH⊥AB于点H
AH=PA·cos30°=（-t）·=18-3t
AQ3=2AH=36-6t
得36-6t=4t，
∴t=3.6
综上所述，当t=2，t=3.6，t=-18时，△APQ是等腰三角形.