Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B（2，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，8）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若将该抛物线向下平移m个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；

（3）已知点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+8；（2）3＜m＜9；（3）满足条件的点Q为（﹣2，0）或（﹣6，0）或（3+，0）或（3﹣，0）．

【解析】试题分析：（1）把点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程组，从而可求得b、c的值，然后可得到抛物线的解析式；

（2）平移后抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+9﹣m，然后求得直线AC的解析式y=2x+8，当x=﹣1时，y=6，最后由抛物线的顶点在△ABC的内部可得到0＜9﹣m＜6，从而可求得m的取值范围；

（3）设点Q的坐标为（a，0），点P（x，y）．分为AC为对角线、CP为对角线、AQ为对角线三种情况，依据平行四边形对角相互平分的性质和中点坐标公式可求得x、y的值（用a的式子表示），然后将点P的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而可得到点Q的坐标．

试题解析：（1）把点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得： ，解得： ，

∴y=﹣x2﹣2x+8．

（2）y=﹣x2﹣2x+8=﹣（x+1）2+9，

∴平移后抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+9﹣m．

∵抛物线的对称轴为x=﹣1，点B（2，0），

∴A（﹣4，0）．

设直线AC的解析式为y=kx+8，将点A的坐标代入得：﹣4k+8=0，解得k=2，

∴直线AC解析式为y=2x+8．

当x=﹣1时，y=6．

∵抛物线的顶点落在△ABC的内部，

∴0＜9﹣m＜6．

∴3＜m＜9．

（3）设点Q的坐标为（a，0），点P（x，y）．

①当AC为对角线时．

∵四边形APCQ为平行四边形，

∴AC与PQ互相平分．

依据中点坐标公式可知： = ， ．

∴x=﹣4﹣a，y=8．

∵点P在抛物线上，

∴﹣（a+4）2﹣2（﹣4﹣a）=0，解得：a=﹣2或a=﹣4（舍去）

∴点P的坐标为（﹣2，0）．

②当CP为对角线时，

∵四边形APCQ为平行四边形，

∴CP与AQ互相平分．

依据中点坐标公式可知： ， ，

∴x=a+4，y=8．

∵点P在抛物线上，

∴﹣（a+4）2﹣2（a+4）=0，解得：a=﹣6或a=﹣4（舍去）

∴点P的坐标为（﹣6，0）．

③AQ为对角线时．

∵四边形APCQ为平行四边形，

∴AQ与CP互相平分．

依据中点坐标公式可知： ， ，

∴x=﹣4+a，y=﹣8．

∵点P在抛物线上，

∴﹣（a﹣4）2﹣2（a﹣4）+16=0，整理得：a2﹣6a﹣8=0，解得：a=3+或a=3﹣．

∴点Q的坐标为（3+，0）或（3﹣，0）．

综上所述满足条件的点Q为（﹣2，0）或（﹣6，0）或（3+，0）或（3﹣，0）．