题目内容
【题目】（2017广东省广州市，第24题，14分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）连接AE，若AB=6cm，BC=
cm．
①求sin∠EAD的值；
②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．
【答案】（1）见解析；（2）①
；②AP的长为
，点Q走完全程所需的时间为3s．
【解析】
（1）只要证明四边相等即可证明；
（2）①设AE交CD于K．由DE∥AC，DE=OC=OA，推出
=
=
，由AB=CD=6，可得DK=2，CK=4，在Rt△ADK中，可以求出AK的长，根据sin∠DAE=
计算即可解决问题；
②作PF⊥AD于F．易知PF=APsin∠DAE=AP，因为点Q的运动时间t=
=OP+AP=OP+PF，所以当O、P、F共线时，OP+PF的值最小，此时OF是△ACD的中位线，由此即可解决问题．
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=OB=OC=OA，
∵△EDC和△ODC关于CD对称，
∴DE=DO，CE=CO，
∴DE=EC=CO=OD，
∴四边形CODE是菱形．
（2）①设AE交CD于K．
∵四边形CODE是菱形，
∴DE∥AC，DE=OC=OA，
∴==．
∵AB=CD=6，
∴DK=2，CK=4，
在Rt△ADK中，AK=
=
=3，
∴sin∠DAE==；
②作PF⊥AD于F．易知PF=APsin∠DAE=
AP，
∵点Q的运动时间t==OP+AP=OP+PF，
∴当O、P、F共线时，OP+PF的值最小，此时OF是△ACD的中位线，
∴OF=CD=3．AF=AD=
，PF=DK=1，
∴AP=
=，
∴当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，AP的长为，点Q走完全程所需的时间为3s．
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