Question

如图①，△ABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，BC∥x轴，AB平分∠CAO．二次函数y=ax²-5ax+4的图象经过△ABC的三个顶点．
（1）点C的坐标为

（0，4）

，二次函数y=ax²-5ax+4的图象的对称轴为

直线x=

5

2

，点B的坐标为

（5，4）

；
（2）求a的值，然后写出二次函数的关系式；
（3）正方形EFGH的顶点E在线段AB上，顶点F在对称轴右侧的图象上，边GH在x轴上，求正方形EFGH的边长；
（4）请在图②中用尺规作图的方式探究函数图象上是否存在点P（点B除外），使△ACP为等腰三角形？若存在，请在图②中作出所有满足条件的点P（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）直接利用x=0求出C点坐标，再利用对称轴公式求出对称轴，再利用二次函数对称性得出B点坐标即可；
（2）利用平行线的性质以及等腰三角形的性质和勾股定理得出A点坐标，进而求出函数解析式；
（3）不妨设正方形的边长为：m（m＞0），则F（-3+3m，m），代入抛物线求出正方形的边长即可；
（4）利用等腰三角形的性质作出线段AC的垂直平分线以及利用AC=A得出符合题意的图形即可．

解答：解：（1）∵二次函数y=ax²-5ax+4，
∴当x=0，则y=4，
∴C点坐标为：（0，4），
∵二次函数y=ax²-5ax+4的图象对称轴为：直线x=-

b

2a

=

5

2

，点C在y轴上，BC∥x轴，
∴点B的坐标为：（5，4），
故答案为：（0，4），直线x=

5

2

，（5，4）；

（2）∵BC∥x轴，AB平分∠CAO，
∴∠CAB=∠BAO，∠CBA=∠CAB，
∴∠CAB=∠CBA，
∴AC=BC，
∵点B的坐标为：（5，4），C（0，4），
∴AC=BC=5，CO=4，
∴AO=3，即A（-3，0），
代入二次函数解析式得：
9a+15a+4=0，
解得：a=-

1

6

，
∴二次函数解析式为：y=-

1

6

x²+

5

6

x+4；

（3）如图①所示：
不妨设正方形的边长为：m（m＞0），则F（-3+3m，m），
代入抛物线得：m=-

1

6

（-3+3m）²+

5

6

（-3+3m）+4，
整理得：m²-3m=0，
解得：m₁=0，m₂=3，
∴正方形EFGH的边长为：3；

（4）如图②所示：共有3个点符合题意．

点评：此题主要考查了二次函数的对称性以及等腰三角形的性质和平行线的性质以及一元二次方程的解法等知识，利用数形结合以及二次函数对称性得出B点坐标是解题关键．