Question

【题目】如图，抛物线y═﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，5）．有一宽度为1，长度足够长的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q，交直线AC于点M和点N，交x轴于点E和点F．

（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；

（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF=，求点Q的坐标；

（3）在矩形的平移过程中，是否存在以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+5，点A的坐标是（﹣5，0）；（2）点Q坐标（﹣4，）；（3）以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为（﹣2，3）或（﹣2+，3+）或（﹣2﹣，3﹣）．

【解析】

(1)把点B、C的坐标代入函数解析式求出b、c的值，进而求出点A的坐标即可;(2) 作FG⊥AC于G , 设点F坐标（m，0），根据sin∠AMF=，列出方程解答即可; (3)分两种情况讨论①当MN是对角线时；②当MN为边时；解答即可.

（1）∵抛物线上的点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，5）

∴将其代入y═﹣x2+bx+c，得

，

解得b=﹣，c=5．

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+5．

∴点A的坐标是（﹣5，0）．

（2）作FG⊥AC于G，

设点F坐标（m，0），

则AF=m+5，AE=EM=m+6，FG=（m+5），FM=，

∵sin∠AMF=，

∴=，

∴=，

整理得到2m2+19m+44=0，

∴（m+4）（2m+11）=0，

∴m=﹣4或﹣5.5（舍弃），

∴点Q坐标（﹣4，）．

（3）①当MN是对角线时，点M在y轴的右侧，设点F（m，0），

∵直线AC解析式为y=x+5，

∴点N（m，m+5），点M（m+1，m+6），

∵QN=PM，

∴﹣m2﹣m+5﹣m﹣5=m+6﹣[﹣（m+1）2﹣（m+1）+5]，

解得m=﹣3+或﹣3﹣（舍弃），

此时M（﹣2+，3+），

当MN是对角线时，点N在点A的左侧时，设点F（m，0）．

∴m+5﹣（﹣m2﹣m+5）=[﹣（m+1）2﹣（m+1）+5]﹣（m+6），

解得m=﹣3﹣或﹣3+（舍弃），

此时M（﹣2﹣，3﹣）

②当MN为边时，设点Q（m，﹣m2﹣m+5）则点P（m+1，﹣m2﹣m+6），

∵NQ=PM，

∴﹣m2﹣m+6=﹣（m+1）2﹣（m+1）+5，

解得m=﹣3．

∴点M坐标（﹣2，3），

综上所述以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为（﹣2，3）或（﹣2+，3+）或（﹣2﹣，3﹣）．