题目内容
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(1)求证:AE=CE;
(2)若EF与⊙O相切于点E,交AC的延长线于点F,且CD=CF=2cm,求⊙O的直径;
(3)若EF与⊙O相切于点E,点C在线段FD上,且CF:CD=2:1,求sin∠CAB.
分析:(1)连接DE,根据∠ABC=90°可知:AE为⊙O的直径,可得∠ADE=90°,结合点D是AC中点,可得出ED是AC的中垂线,从而可证得结论;
(2)根据△ADE∽△AEF,可将AE解出,即⊙O的直径求出;
(3)根据等角代换得出∠CAB=∠DEA,然后根据CF:CD=2:1,可得AC=CF,继而根据斜边中线等于斜边一半得出CE=BE=CF=AC,在RT△ADE中,求出sin∠DEA即可得出答案.
(2)根据△ADE∽△AEF,可将AE解出,即⊙O的直径求出;
(3)根据等角代换得出∠CAB=∠DEA,然后根据CF:CD=2:1,可得AC=CF,继而根据斜边中线等于斜边一半得出CE=BE=CF=AC,在RT△ADE中,求出sin∠DEA即可得出答案.
解答:
证明:(1)连接DE,
∵∠ABC=90°,
∴∠ABE=90°,
∴AE是⊙O直径
∴∠ADE=90°,即DE⊥AC,
又∵D是AC的中点,
∴DE是AC的垂直平分线,
∴AE=CE;
(2)在△ADE和△EFA中,
,
故可得△ADE∽△AEF,
从而
=
,即
=
,
解得:AE=2
cm;
即⊙O的直径为2
cm.
(3)∵∠CAB+∠ACB=90°,∠DEA+∠DAE=90°,∠DAE=∠ACB,
∴∠CAB=∠DEA,
∵CF:CD=2:1,点D是AC中点,
∴CF=2CD,AC=2CD,
∴AE=CE=AC=CF(斜边中线等于斜边一半)=2CD,
在RT△ADE中,sin∠DEA=
=
=
.
故可得sin∠CAB=sin∠DEA=
.
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201207/48/fd186dd0.png)
∵∠ABC=90°,
∴∠ABE=90°,
∴AE是⊙O直径
∴∠ADE=90°,即DE⊥AC,
又∵D是AC的中点,
∴DE是AC的垂直平分线,
∴AE=CE;
(2)在△ADE和△EFA中,
|
故可得△ADE∽△AEF,
从而
AE |
AF |
AD |
AE |
AE |
6 |
2 |
AE |
解得:AE=2
3 |
即⊙O的直径为2
3 |
(3)∵∠CAB+∠ACB=90°,∠DEA+∠DAE=90°,∠DAE=∠ACB,
∴∠CAB=∠DEA,
∵CF:CD=2:1,点D是AC中点,
∴CF=2CD,AC=2CD,
∴AE=CE=AC=CF(斜边中线等于斜边一半)=2CD,
在RT△ADE中,sin∠DEA=
AD |
AE |
CD |
2CD |
1 |
2 |
故可得sin∠CAB=sin∠DEA=
1 |
2 |
点评:本题主要考查圆周角定理,切线的性质及相似三角形判定及性质,属于圆类题目的综合题,难度较大,解答本题的关键是熟练各个基础知识的内容,并能准确运用,大综合题都是对小知识点组合的考察,因此需要我们将所学的知识融会贯通.
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