题目内容

在梯形ABCD中,ADBC.AB=DC=AD=6,∠ABC=60°,点E、F分别在AD、DC上(点E与A、D不重合);且∠BEF=120°,设AE=x,DF=y.
(1)求BC边的长;
(2)求出y关于x的函数关系;
(3)利用配方法求x为何值时,y有最大值,最大值为多少?
(1)过A点作AGCD交BC于G点,
∵ADBC,
∴四边形AGCD为平行四边形,
∴AD=CG,AB=CD=AG,又∠ABC=60°,
∴△ABG为等边三角形,
∴BG=AB,
∴BC=BG+CG=AB+AD=12;

(2)根据等腰梯形的性质,得∠A=∠D=120°,
根据三角形外角定理,得∠BED=∠ABE+∠A,
即120°+∠DEF=∠ABE+120°,
∴∠ABE=∠DEF,
∴△ABE△DEF,
AB
DE
=
AE
DF
,即
6
6-x
=
x
y

解得y=-
1
6
x2+x;

(3)∵y=-
1
6
x2+x=y=-
1
6
(x-3)2+
3
2
,且-
1
6
<0,
∴当x=3时,y最大值=
3
2

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