题目内容
如图，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=12
cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以2
cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动．如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s．
（1）求∠OAB的度数．
（2）以OB为直径的⊙O′与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O′相切？
（3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值．
（4）是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在请说明理由．
| 3 |
| 3 |
（1）求∠OAB的度数．
（2）以OB为直径的⊙O′与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O′相切？
（3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值．
（4）是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在请说明理由．
（1）在Rt△AOB中：
tan∠OAB=
=
=
，
∴∠OAB=30°．
（2）如图，连接O′P，O′M．
当PM与⊙O′相切时，有：
∠PMO′=∠POO′=90°，
△PMO′≌△POO′．
由（1）知∠OBA=60°，
∵O′M=O′B，
∴△O′BM是等边三角形，
∴∠BO′M=60°．
可得∠OO′P=∠MO′P=60°．
∴OP=OO′•tan∠OO′P
=6×tan60°=6
．
又∵OP=2
t，
∴2
t=6
，t=3．
即：t=3时，PM与⊙O‘相切．
（3）如图，过点Q作QE⊥x于点E．
∵∠BAO=30°，AQ=4t，
∴QE=
AQ=2t，
AE=AQ•cos∠OAB=4t×
=2
t．
∴OE=OA-AE=12
-2
t．
∴Q点的坐标为（12
-2
t，2t），
S△PQR=S△OAB-S△OPR-S△APQ-S△BRQ
=
•12•12
-
•2
t•(12-2t)-
(12
-2
t)•2t-
•2t(12
-2
t)
=6
t2-36
t+72
=6
(t-3)2+18
． （0＜t＜6）
当t=3时，S△PQR最小=18
；
（4）分三种情况：如图
①当AP=AQ1=4t时，
∵OP+AP=12
，
∴2
t+4t=12
．
∴t=
，
或化简为t=12
-18；
②当PQ2=AQ2=4t时，
过Q2点作Q2E⊥x轴于点E．
∴PA=2AE=2AQ2•cosA=4
t，
即2
t+4
t=12
，
∴t=2；
③当PA=PQ3时，过点P作PH⊥AB于点H．
AH=PA•cos30°=（12
-2
t）•
=18-3t，
AQ3=2AH=36-6t，
得36-6t=4t，
∴t=3.6．
综上所述，当t=2或t=3.6或t=12
-18时，△APQ是等腰三角形．
tan∠OAB=
| OB |
| OA |
| 12 | ||
12
|
| ||
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∴∠OAB=30°．
（2）如图，连接O′P，O′M．
当PM与⊙O′相切时，有：
∠PMO′=∠POO′=90°，
△PMO′≌△POO′．
由（1）知∠OBA=60°，
∵O′M=O′B，
∴△O′BM是等边三角形，
∴∠BO′M=60°．
可得∠OO′P=∠MO′P=60°．
∴OP=OO′•tan∠OO′P
=6×tan60°=6
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又∵OP=2
| 3 |
∴2
| 3 |
| 3 |
即：t=3时，PM与⊙O‘相切．
（3）如图，过点Q作QE⊥x于点E．
∵∠BAO=30°，AQ=4t，
∴QE=
| 1 |
| 2 |
AE=AQ•cos∠OAB=4t×
| ||
| 2 |
| 3 |
∴OE=OA-AE=12
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∴Q点的坐标为（12
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S△PQR=S△OAB-S△OPR-S△APQ-S△BRQ
=
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| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
=6
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| 3 |
=6
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当t=3时，S△PQR最小=18
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（4）分三种情况：如图
①当AP=AQ1=4t时，
∵OP+AP=12
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∴2
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∴t=
6
| ||
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或化简为t=12
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②当PQ2=AQ2=4t时，
过Q2点作Q2E⊥x轴于点E．
∴PA=2AE=2AQ2•cosA=4
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即2
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∴t=2；
③当PA=PQ3时，过点P作PH⊥AB于点H．
AH=PA•cos30°=（12
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| ||
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AQ3=2AH=36-6t，
得36-6t=4t，
∴t=3.6．
综上所述，当t=2或t=3.6或t=12
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与AC相交于点P．