题目内容

如图，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=12
3
cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以2
3
cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动．如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s．
（1）求∠OAB的度数．
（2）以OB为直径的⊙O′与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O′相切？
（3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值．
（4）是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在请说明理由．
（1）在Rt△AOB中：
tan∠OAB=
OB
OA
=
12
12
3
=
3
3
，
∴∠OAB=30°．

（2）如图，连接O′P，O′M．
当PM与⊙O′相切时，有：
∠PMO′=∠POO′=90°，
△PMO′≌△POO′．
由（1）知∠OBA=60°，
∵O′M=O′B，
∴△O′BM是等边三角形，
∴∠BO′M=60°．
可得∠OO′P=∠MO′P=60°．
∴OP=OO′•tan∠OO′P
=6×tan60°=6
3
．
又∵OP=2
3
t，
∴2
3
t=6
3
，t=3．
即：t=3时，PM与⊙O‘相切．

（3）如图，过点Q作QE⊥x于点E．
∵∠BAO=30°，AQ=4t，
∴QE=
1
2
AQ=2t，
AE=AQ•cos∠OAB=4t×
3
2
=2
3
t．
∴OE=OA-AE=12
3
-2
3
t．
∴Q点的坐标为（12
3
-2
3
t，2t），
S△PQR=S△OAB-S△OPR-S△APQ-S△BRQ
=
1
2
•12•12
3
-
1
2
•2
3
t•(12-2t)-
1
2
(12
3
-2
3
t)•2t-
1
2
•2t(12
3
-2
3
t)
=6
3
t2-36
3
t+72
3

=6
3
(t-3)2+18
3
． （0＜t＜6）
当t=3时，S△PQR最小=18
3
；

（4）分三种情况：如图
①当AP=AQ1=4t时，
∵OP+AP=12
3
，
∴2
3
t+4t=12
3
．
∴t=
6
3
3
+2
，
或化简为t=12
3
-18；
②当PQ2=AQ2=4t时，
过Q2点作Q2E⊥x轴于点E．
∴PA=2AE=2AQ2•cosA=4
3
t，
即2
3
t+4
3
t=12
3
，
∴t=2；
③当PA=PQ3时，过点P作PH⊥AB于点H．
AH=PA•cos30°=（12
3
-2
3
t）•
3
2
=18-3t，
AQ3=2AH=36-6t，
得36-6t=4t，
∴t=3.6．
综上所述，当t=2或t=3.6或t=12
3
-18时，△APQ是等腰三角形．
练习册系列答案
相关题目
如图，AB是⊙O的直径，P点在AB的延长线上，弦CD⊥AB于E，∠PCE=2∠BDC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AE：EB=2：1，PB=6，求弦CD的长．
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，以AC为直径的圆交AB于D，则AD的长为（　　）
A．
9
5
B．
12
5
C．
16
5
D．4
如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A=70°，∠B=60°，则
CD
的度数为何（　　）
A．50°B．60°C．100°D．120°
已知：如图，⊙O中，AB、AC是弦，CD是直径，PC是⊙O的切线，切点为C，割线PD交⊙O于点E，DE=
4
3
，PE=
14
3
，BD=2，∠ACD=15°．求AB的长（不取近似值）
如图，∠AOB=60°，点M是射线OB上的点，OM=4，以点M为圆心，2cm为半径作圆．若OA绕点O按逆时针方向旋转，当OA和⊙M相切时，OA旋转的角度是______．
如图，已知△ABC是等腰三角形，∠C=90°，AC=BC=
2
，在BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径作半圆与AB相切于点E，则⊙O的半径为______．
如图，已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于E、F，EF与AC相交于点P．
（1）求证：PA•PE=PC•PF；
（2）求证：
PE2
PC2
=
PF
PB
；
（3）当⊙O与⊙O′为等圆时，且PC：CE：EP=3：4：5时，求△PEC与△FAP的面积的比值．
如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）求PD的长．

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