题目内容
【题目】如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于点D，BD=8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为t秒（0＜t≤5）．线段CM的长度记作y甲 ， 线段BP的长度记作y乙 ， y甲和y乙关于时间t的函数变化情况如图所示．
（1）由图2可知，点M的运动速度是每秒 cm，当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？在图2中反映这一情况的点是；
（2）设四边形PQCM的面积为ycm2 ， 求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM= 
S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（4）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
【答案】
（1）解：2；E（ 
， ）
（2）
解：∵PQ∥AC，
∴△PBQ∽△ABC，
∴△PBQ为等腰三角形，PQ=PB=t，
∴ 
，即 
，
解得：BF= 
t，
∴FD=BD﹣BF=8﹣ t，
又∵MC=AC﹣AM=10﹣2t，
∴y= 
（PQ+MC）FD= （t+10﹣2t）（8﹣ t）= 
t2﹣8t+40
（3）
解：存在；
∵S△ABC= ACBD= ×10×8=40，
当S四边形PQCM= S△ABC时，y= t2﹣8t+40=20，
解得：t=10﹣5 
，或t=10+5 （不合题意，舍）；
即：t=10﹣5 时，S四边形PQCM= S△ABC
（4）
解：假设存在某一时刻t，使得M在线段PC的垂直平分线上，则MP=MC，
过M作MH⊥AB，交AB与H，如图所示：
∵∠A=∠A，∠AHM=∠ADB=90°，
∴△AHM∽△ADB，
∴ 
，
又∵AD=6，
∴ 
，
∴HM= 
t，AH= 
t，
∴HP=10﹣t﹣ t=10﹣ 
t，
在Rt△HMP中，MP2=（ t）2+（10﹣ t）2= 
t2﹣44t+100，
又∵MC2=（10﹣2t）2=100﹣40t+4t2，
∵MP2=MC2，
∴ t2﹣44t+100=100﹣40t+4t2，
解得 t1= 
，t2=0（舍去），
∴t= s时，点M在线段PC的垂直平分线上．
【解析】解：（1）由图2得，点M的运动速度为2cm/s，PQ的运动速度为1cm/s，
∵四边形PQCM是平行四边形，则PM∥QC，
∴AP：AB=AM：AC，
∵AB=AC，
∴AP=AM，即10﹣t=2t，
解得：t= ，
∴当t= 时，四边形PQCM是平行四边形，此时，图2中反映这一情况的点是E（ ， ）
所以答案是：2，E（ ， ）．
【考点精析】通过灵活运用相似三角形的应用，掌握测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解即可以解答此题．
