Question

【题目】如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在射线DB、DC、BC上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F＝（　　）

A. 30°B. 35°C. 15°D. 25°

Answer 1

【答案】C

【解析】

先由BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，在△ABC中根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=60°，则根据平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，两式相加得到∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根据三角形内角和定理可计算出∠E=30°；再由BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根据三角形外角性质得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代换得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再进行等量代换可得到∠F=∠E．

解：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠A＝60°，

∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，

∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A×（180°﹣60°）＝60°，

∴∠MBC+∠NCB＝360°﹣60°＝300°，

∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，

∴∠5+∠6＝∠MBC，∠1＝∠NCB，

∴∠5+∠6+∠1＝（∠NCB+∠NCB）＝150°，

∴∠E＝180°﹣（∠5+∠6+∠1）＝180°﹣150°＝30°，

∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，

∴∠5＝∠6，∠2＝∠3+∠4，

∵∠3+∠4＝∠5+∠F，∠2+∠3+∠4＝∠5+∠6+∠E，

即∠2＝∠5+∠F，2∠2＝2∠5+∠E，

∴2∠F＝∠E，

∴∠F＝∠E＝×30°＝15°．

故选：C．