Question

已知关于x的方程x²+4x+3k-1=0的两实根的平方和不小于这两个根的积；反比例函数的图象的两个分支在各自的象限内，点的纵坐标y随点的横坐标x的增大而减小．求满足上述条件的k的整数值．

Answer 1

解：由题意，方程x²+4x+3k-1=0有实根，故△=16-4（3k-1）≥0，
解得k≤，
设方程两根为x₁，x₂，则有x₁+x₂=-4，x₁x₂=3k-1．
∵x₁²+x₂²≥x₁x₂．即：（x₁+x₂）²-3x₁x₂≥0，
即（-4）²-3（3k-1）≥0，
解得k≤．
又由比例函数，当x＞0或x＜0时，y随x增大而减小，可知：1+5k＞0，即k＞-，
所以k的取值范围为：≥k＞-，
所以满足题中条件的k可取整数0和1．
分析：本题根据题中所给条件，列出关于K的不等式：△=16-4（3k-1）≥0，（x₁+x₂）²-3x₁x₂≥0，1+5k＞0，解不等式组即可解得k的取值范围．
点评：本题考查了根与系数的关系及反比例函数性质，难度较大，关键根据题意列出关于K的不等式．