Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AC＝4，AB＝2，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB'C'D'，使点B的对应点B'落在AC上，B'C'交AD于点E，在B'C'上取点F，使B'F＝AB．

（1）求证：AE＝C'E；

（2）求BF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）BF＝+．

【解析】

（1）在直角三角形ABC中，由AC=2AB，得到∠ACB=30°，再由折叠的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；
（2）连接AF，过A作AM⊥BF，可得△AB′F是等腰直角三角形，△AB′B为等边三角形，分别利用三角函数定义求出MF与AM，根据AM=BM，即BM+MF=BF即可求出．

（1）证明：∵在Rt△ABC中，AC＝2AB，

∴∠ACB＝∠AC′B′＝30°，∠BAC＝60°，

由旋转可得：AB′＝AB，∠B′AC′＝∠BAC＝60°，

∴∠EAC′＝∠AC′B′＝30°，

∴AE＝C′E；

（2）连接AF，过A作AM⊥BF，可得△AB′F是等腰直角三角形，△AB′B为等边三角形，

∴∠AFB′＝45°，

∴∠AFM＝30°，∠ABF＝45°，

在Rt△AMF中，AM＝BM＝ABcos∠ABM＝2×，

在Rt△AMF中，MF＝，

则BF＝+．