Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．

（1）求证：直线DF与⊙O相切；

（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）9．

【解析】试题分析： 首先连接OD，根据等腰三角形的性质可证∠C＝∠ODC，从而可证∠B＝∠ODC，根据DF⊥AB可证DF⊥OD，所以可证线DF与⊙O相切；

根据圆内接四边形的性质可得：△BCA∽△BED，所以可证： ，解方程求出BE的长度，从而求出AC的长度.

试题解析： 如图所示，

连接，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴∥，

∵，

∴；

∵点在⊙O上，

∴直线与⊙O相切；

∵四边形是⊙O的内接四边形，

∴，

∵，

∴，

∴△BED∽△BCA，

∴，

∵OD∥AB， ，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴