Question

已知：△ABC中，AB=AC．
（1）如图①，点O在BC边上，且OB=OC，过O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，求证：OD=OE；
（2）如图②，点O在△ABC的内部，且OB=OC，过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，OD=OE还成立吗？若成立请证明，若不成立，请说明理由；
（3）点O在△ABC的外部，且OB=OC，过点O作OD⊥AB的延长线于点D，作OE⊥AC的延长线于点E，OD=OE还成立吗？请直接回答是否成立即可，不需要说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接AO，先由等腰三角形三线合一的性质得出AO平分∠BAC，再根据角平分线的性质即可得出OD=OE；
（2）连接AO，先由AB=AC及OB=OC得出AO是BC的垂直平分线，再由等腰三角形三线合一的性质得出AO平分∠BAC，然后根据角平分线的性质即可得出OD=OE；
（3）根据等于三角形的性质，由AAS易证得Rt△BOD≌Rt△COE，根据全等三角形的性质即可得出结论．

解答：（1）证明：如图①，连接AO．
∵AB=AC，OB=OC，
∴AO平分∠BAC，
又∵OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，
∴OD=OE；

（2）解：OD=OE仍然成立．理由如下：
如图②，连接AO．
∵AB=AC，
∴A在BC的垂直平分线上，
∵OB=OC，
∴O在BC的垂直平分线上，
∵两点确定一条直线，
∴AO是BC的垂直平分线，
∵AB=AC，
∴AO平分∠BAC，
又∵OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，
∴OD=OE；

（3）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBD=∠OCE，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ODB=∠OEC=90°，
在△BOD与△COE中，
∵

∠ODB=∠OEC ∠OBD=∠OCE OB=OC

，
∴△BOD≌Rt△COE（AAS），
∴OD=OE．

点评：本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形及角平分线的性质，正确地作出辅助线，利用等腰三角形三线合一的性质得出AO平分∠BAC是解题的关键．