Question

【题目】如图，已知BD垂直平分线段AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC

（1）证明：四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵BD垂直平分AC，

∴AB=BC，AD=DC，

在△ADB与△CDB中，

，

∴△ADB≌△CDB（SSS）

∴∠BCD=∠BAD，

∵∠BCD=∠ADF，

∴∠BAD=∠ADF，

∴AB∥FD，

∵BD⊥AC，AF⊥AC，

∴AF∥BD，

∴四边形ABDF是平行四边形，

（2）解：∵四边形ABDF是平行四边形，AF=DF=5，

∴ABDF是菱形，

∴AB=BD=5，

∵AD=6，

设BE=x，则DE=5﹣x，

∴AB2﹣BE2=AD2﹣DE2，

即52﹣x2=62﹣（5﹣x）2

解得：x= ，

∴AE= = ，

∴AC=2AE= ．

【解析】（1）根据线段垂直平分线上的点到相线段两端点的距离相等，得出AB=BC，AD=DC，即可证得△ADB≌△CDB，得出对应角相等，再根据已知证明AB∥FD，AF∥BD，即可证得结论。
（2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知ABDF是菱形，BD=DF=5，然后在Rt△ABE和Rt△ADE中，利用勾股定理，得出AE2=AB2﹣BE2=AD2﹣DE2，设BE=x，建立方程，求出BE的长，再求出AE的长，根据AC=2AE，即可求得结果。
【考点精析】通过灵活运用线段垂直平分线的性质和勾股定理的概念，掌握垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此题．