题目内容

【题目】如图,对称轴为直线x=-1的抛物线y=a(x-h)-4(a≠0)与x轴相交于AB两点,与y轴交于点C,其中点A的坐标为(-30)

1)求该抛物线的解析式;

2)若点P在抛物线上,且SPOC=4SBOC.求点P的坐标;

3)设点Q是线段AC上的动点,作QDx轴交抛物线于点D,求线段QD长度的最大值.

【答案】1)所求抛物线的解析式是

2)点的坐标为,或

3)如当时,有最大值

【解析】

1)因为抛物线的对称轴为,可得h值;点坐标为在抛物线上,代入抛物线的解析式,即可解答;

2)先由二次函数的解析式为,得到点坐标,然后设点坐标为,根据列出关于的方程,解方程求出的值,进而得到点的坐标;

(3)先运用待定系数法求出直线的解析式为,再设点坐标为,则点坐标为,然后用含的代数式表示,根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值.

1)由题意对称轴为直线

设抛物线解析式为,把点代入得

∴所求抛物线的解析式是

2)如图1

,当时,.所以点

,解得,或

设点

此时

解得

所以

所以点的坐标为,或

3)如图2

设直线的解析式为:

代入得,解得

所以直线AC的解析式为

设点,点

所以

所以当时,有最大值

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