题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A在第二象限且纵坐标为1,点B在x轴的负半轴上,AB=AO,∠ABO=30°,直线MN经过原点O,点A关于直线MN的对称点A1在x轴的正半轴上,点B关于直线MN的对称点为B1

(1)求∠AOM的度数.
(2)已知30°,60°,90°的三角形三边比为1: :2,求线段AB1的长和B1的纵坐标.

【答案】
(1)

解:∵点A与点A1关于直线MN对称,

∴∠AOM=∠A1OM,

∵AB=AO,∠ABO=30°,

∴∠AOB=30°,

∵∠AOB+∠AOM+∠A1OM=180°,

∴∠AOM=75°


(2)

解:过点A作AC⊥x轴于点C,过点B1作B1D⊥x轴于点D,如图所示.

∵∠AOC=30°,∠ACO=90°,AC=1,

∴AO=2AC=2,OC= AC=

∵AB=AO,

∴BO=2OC=2

∴点A(﹣ ,1),点B(﹣2 ,0).

∵点A与点A1关于直线MN对称,

∴OA1=OA=2,

∴点A1(2,0),

∴A1B=2﹣(﹣2 )=2+2

∵点A关于直线MN的对称点A1,点B关于直线MN的对称点为B1

∴AB1=A1B=2+2 ,OB1=OB=2

在Rt△OB1D中,∠B1OD=∠AOB=30°,

∴B1D= OB1=

故线段AB1的长为2+2 ,B1的纵坐标为


【解析】(1)由点A与点A1关于直线MN对称,可得出∠AOM=∠A1OM,再由等腰三角形的性质可得出∠AOB=30°,通过角的计算即可得出结论;(2)过点A作AC⊥x轴于点C,过点B1作B1D⊥x轴于点D,通过解直角三角形以及等腰三角形的性质可得出点A、B点的坐标,再根据对称的性质即可得出点A1的坐标以及AB1=A1B,在Rt△OB1D中,利用特殊角的三角函数值即可得出B1D的长度,此题得解.
【考点精析】本题主要考查了三角形三边关系和比例的性质的相关知识点,需要掌握三角形两边之和大于第三边;三角形两边之差小于第三边;不符合定理的三条线段,不能组成三角形的三边;基本性质;更比性质(交换比例的内项或外项);反比性质(交换比的前项、后项);等比性质才能正确解答此题.

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