题目内容
【题目】如图，点A、B分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，点C（2，﹣2），CA、CB分别交坐标轴于D、E，CA⊥AB，且CA＝AB
（1）求点B的坐标；
（2）如图2，连接DE，求证：BD﹣AE＝DE；
（3）如图3，若点F为（4，0），点P在第一象限内，连接PF，过P作PM⊥PF交y轴于点M，在PM上截取PN＝PF，连接PO、BN，过P作∠OPG＝45°交BN于点G，求证：点G是BN的中点．
【答案】（1）B（0，4）；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
（1）作CM⊥x轴于M，求出CM＝CN＝2，证△BAO≌△ACM，推出AO＝CM＝2，OB＝AM＝4，即可得出答案；
（2）在BD上截取BF＝AE，连AF，证△BAF≌△CAE，证△AFD≌△CED，即可得出答案．
（3）作EO⊥OP交PG的延长线于E，连接EB、EN、PB，只要证明四边形ENPB是平行四边形就可以了．
解：（1）作CM⊥x轴于M，
∵C（2，﹣2），
∴CM＝2，OM＝2，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝∠AOB＝∠CMA＝90°，
∴∠BAO+∠CAM＝90°，∠CAM+∠ACM＝90°，
∴∠BAO＝∠ACM，
在△BAO和△ACM中，
，
∴△BAO≌△ACM，
∴AO＝CM＝2，OB＝AM＝AO+OM＝2+2＝4，
∴B（0，4）．
（2）证明：在BD上截取BF＝AE，连AF，
∵△BAO≌△CAM，
∴∠ABF＝∠CAE，
在△ABF和△ACE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS），
∴AF＝CE，∠ACE＝∠BAF＝45°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠FAD＝45°＝∠ECD，
由（1）可知OA＝OM，OD∥CM，
∴AD＝DC，（图1中），
在△AFD和△CED中，
，
∴△AFD≌△CED（SAS），
∴DE＝DF，
∴BD﹣AE＝DE；
（3）如图3，作EO⊥OP交PG的延长线于E，连接EB、EN、PB，
∵∠EOP＝90°，∠EPO＝45°，
∴∠OEP＝∠EPO＝45°，
∴EO＝PO，
∵∠EOP＝∠BOF＝90°，
∴∠EOB＝∠POF，
在△EOB和△POF中，
，
∴△EOB≌△POF，
∴EB＝PF＝PN，∠1＝∠OFP，
∵∠2+∠PMO＝180°，
∵∠MOF＝∠MPF＝90°，
∴∠OMP+∠OFP＝180°，
∴∠2＝∠OFP＝∠1，
∴EB∥PN，
∵EB＝PN，
∴四边形ENPB是平行四边形，
∴BG＝GN，
即点G是BN中点．
