题目内容

【题目】如图,四边形是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,点轴上,点轴上,将边折叠,使点落在边的点处.已知折叠,且

(1)判断是否相似?请说明理由;

(2)求直线轴交点的坐标;

(3)是否存在过点的直线,使直线、直线轴所围成的三角形和直线、直线轴所围成的三角形相似?如果存在,请直接写出其解析式并画出相应的直线;如果不存在,请说明理由.

【答案】解:(1相似.

理由如下:

由折叠知,

2

由勾股定理得

由(1,得

中,

,解得

,点的坐标为

的坐标为

设直线的解析式为

解得

,则点的坐标为

3)满足条件的直线2条:

如图2:准确画出两条直线.

【解析】

1)由折叠知,,根据同角的余角相等可得,再有

即可得到相似;

2)),则,由勾股定理得

,由(1,根据对应边成比例可得,在中根据勾股定义即可求出,从而得到点、点的坐标,再根据待定系数法即可得到直线的解析式,从而得到点的坐标。

3)存在,应该有两条如图:

直线BF,根据折叠的性质可知CE必垂直平分BD,那么∠DGP=∠CGF=90°,而∠CFG=∠DPG(都是∠OCP的余角),由此可得出两三角形相似,那么可根据BD两点的坐标求出此直线的解析式.

直线DN,由于∠FCO=∠NDO,那么可根据∠OCE∠BEC的正切值,求出∠NDO的正切值,然后用OD的长求出ON的值,即可求出N点的坐标,然后根据ND两点的坐标求出直线DN的解析式.

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