题目内容
【题目】如图,四边形是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,点
在
轴上,点
在
轴上,将边
折叠,使点
落在边
的点
处.已知折叠
,且
.
(1)判断与
是否相似?请说明理由;
(2)求直线与
轴交点
的坐标;
(3)是否存在过点的直线
,使直线
、直线
与
轴所围成的三角形和直线
、直线
与
轴所围成的三角形相似?如果存在,请直接写出其解析式并画出相应的直线;如果不存在,请说明理由.
【答案】解:(1)与
相似.
理由如下:
由折叠知,,
,
又,
.
(2),
设
,
则.
由勾股定理得.
.
由(1),得
,
,
.
在中,
,
,解得
.
,点
的坐标为
,
点的坐标为
,
设直线的解析式为
,
解得
,则点
的坐标为
.
(3)满足条件的直线有2条:
,
.
如图2:准确画出两条直线.
【解析】
(1)由折叠知,,根据同角的余角相等可得
,再有
即可得到
与
相似;
(2)),
设
,则
,由勾股定理得
,
,由(1)
,根据对应边成比例可得
,
,在
中根据勾股定义即可求出
,从而得到点
、点
的坐标,再根据待定系数法即可得到直线
的解析式,从而得到点
的坐标。
(3)存在,应该有两条如图:
①直线BF,根据折叠的性质可知CE必垂直平分BD,那么∠DGP=∠CGF=90°,而∠CFG=∠DPG(都是∠OCP的余角),由此可得出两三角形相似,那么可根据B、D两点的坐标求出此直线的解析式.
②直线DN,由于∠FCO=∠NDO,那么可根据∠OCE即∠BEC的正切值,求出∠NDO的正切值,然后用OD的长求出ON的值,即可求出N点的坐标,然后根据N、D两点的坐标求出直线DN的解析式.

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