题目内容

如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，
（1）选取合适的点作为原点，建立直角坐标系，求出抛物线的解析式；
（2）求绳子的最低点距地面的距离．
（1）按要求建立直角坐标系．
设抛物线的函数关系式为：y=ax2+c．
将（-0.5，1）、（1，2.5）代入y=ax2+c得：
(-0.5)2a+c=1
12a+c=2.5
，
∴
a=2
c=
1
2
．
∴绳子所在抛物线的函数关系式为：y=2x2+0.5．

（2）∵当x=0时，y=2x2+0.5=0.5，
∴绳子的最低点离地面的距离为0.5米．
练习册系列答案
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如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-
5
4
x2+bx+c经过点A（0，1）、B（3，
5
2
）两点，BC⊥x轴，垂足为C．点P是线段AB上的一动点（不与A，B重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）连结AM、BM，设△AMB的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）连结PC，当t为何值时，四边形PMBC是菱形？
已知在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=4．现以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
（3）若⊙P的半径为R，圆心P在（2）的抛物线上运动，问：是否存在这样的点P，使得⊙P与两坐标轴都相切？若存在，请求出此时⊙P半径R的值；若不存在，请说明理由．
如图1，已知直线y=-
1
2
x与抛物线y=-
1
4
x2+6交于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；
（3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A，B两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A，B构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
如图1，已知抛物线y=ax2-2ax+b经过梯形OABC的四个顶点，若BC=10，梯形OABC的面积为18．
（1）求抛物线解析式；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，平移后的两条直线分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．用含S的代数式表示x2-x1，并求出当S=36时点A1的坐标；
（3）如图3，设图1中点D坐标为（1，3），M为抛物线的顶点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（-2，0）、B（0，1）两点，且对称轴是y轴．经过点C（0，2）的直线l与x轴平行，O为坐标原点，P、Q为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上的两动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以点P为圆心，PO为半径的圆记为⊙P，判断直线l与⊙P的位置关系，并证明你的结论；
（3）设线段PQ=9，G是PQ的中点，求点G到直线l距离的最小值．
如图，某小区要修建一块矩形绿地，设矩形的长为x米，宽为y米，且x＞y．
（1）如果用18米的建筑材料来修建绿地的边框（即周长），求y与x的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）现根据小区的规划要求，所修建的矩形绿地面积必须是18平方米，在满足（1）的条件下，问矩形的长和宽各为多少米？
如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点P在矩形的边DC上由D向C运动．沿直线AP翻折△ADP，形成如下四种情形．设DP=x，△ADP和矩形重叠部分（阴影）的面积为y．

（1）如图丁，当点P运动到与C重合时，求重叠部分的面积y；
（2）如图乙，当点P运动到何处时，翻折△ADP后，点D恰好落在BC边上这时重叠部分的面积y等于多少？
（3）阅读材料：已知锐角α≠45°，tan2α是角2α的正切值，它可以用角α的正切值tanα来表示，即tan2α=
2tanα
1-(tanα)2
（α≠45°）．根据上述阅读材料，求出用x表示y的解析式，并指出x的取值范围．
（提示：在图丙中可设∠DAP=a）
某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为10米．当x等于多少米时，窗户的透光面积最大，最大面积是多少？

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