题目内容
如图1,已知直线y=-
x与抛物线y=-
x2+6交于A,B两点.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)求线段AB的垂直平分线的解析式;
(3)如图2,取与线段AB等长的一根橡皮筋,端点分别固定在A,B两处.用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动,动点P将与A,B构成无数个三角形,这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在,求出最大面积,并指出此时P点的坐标;如果不存在,请简要说明理由.
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(1)求A,B两点的坐标;
(2)求线段AB的垂直平分线的解析式;
(3)如图2,取与线段AB等长的一根橡皮筋,端点分别固定在A,B两处.用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动,动点P将与A,B构成无数个三角形,这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在,求出最大面积,并指出此时P点的坐标;如果不存在,请简要说明理由.
(1)依题意得
解之得
∴A(6,-3),B(-4,2)
(2)作AB的垂直平分线交x轴,y轴于C,D两点,交AB于M(如图1),
由(1)可知:OA=3
,OB=2
∴AB=5
AB-OB=
过B作BE⊥x轴,E为垂足
由“△BEO∽△CMO,得:
=
,
∴OC=
同理:OD=
,
∴C(
,0),D(0,-
)
设CD的解析式为y=kx+b(k≠0)
∴
∴
∴AB的垂直平分线的解析式为:y=2x-
.
(3)若存在点P使△APB的面积最大,则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线
y=-
x+m上,并设该直线与x轴,y轴交于G,H两点(如图2).
∴
∴
x2-
x+m-6=0
∵抛物线与直线只有一个交点,
∴△=(-
)2-4×
(m-6)=0,
∴m=
,
故
x2-
x+
=0,即(x-1)2=0,
解得:x=1,
将x=1代入y=-
+
得:y=
,
∴P(1,
)
在直线GH:y=-
x+
中,
∴G(
,0),H(0,
)
∴GH=
设O到GH的距离为d,
∵
GH•d=
OG•OH
∵
×
d=
×
×
∴d=
,
又∵由AB∥GH
∴P到AB的距离等于O到GH的距离d.
∴S最大面积=
AB•d=
×5
×
=
.
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解之得
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∴A(6,-3),B(-4,2)
(2)作AB的垂直平分线交x轴,y轴于C,D两点,交AB于M(如图1),
由(1)可知:OA=3
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∴AB=5
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过B作BE⊥x轴,E为垂足
由“△BEO∽△CMO,得:
OC |
OB |
OM |
OE |
∴OC=
5 |
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同理:OD=
5 |
2 |
∴C(
5 |
4 |
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设CD的解析式为y=kx+b(k≠0)
∴
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∴
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∴AB的垂直平分线的解析式为:y=2x-
5 |
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(3)若存在点P使△APB的面积最大,则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线
y=-
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∴
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∴
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∵抛物线与直线只有一个交点,
∴△=(-
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∴m=
25 |
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故
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1 |
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解得:x=1,
将x=1代入y=-
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∴P(1,
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在直线GH:y=-
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∴G(
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∴GH=
25 |
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设O到GH的距离为d,
∵
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∵
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∴d=
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又∵由AB∥GH
∴P到AB的距离等于O到GH的距离d.
∴S最大面积=
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