题目内容

如图,已知矩形ABCD内接于⊙O,BD为⊙O直径,将△BCD沿BD所在的直线翻折后,得到点C的对应点N仍在⊙O上,BN交AD与点M.若∠AMB=60°,⊙O的半径是3cm.
(1)求点O到线段ND的距离;
(2)过点A作BN的平行线EF,判断直线EF与⊙O的位置关系并说明理由.
(1)过点O作OG⊥ND于点G
∴∠OGD=90°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠C=90°,
由翻折得
∠N=∠C=90°=∠OGD,
∴OGBN,
∵∠AMB=60°,
∴∠BMD=120°,
易证:△ABM≌△NDM,
∴MB=MD,
∴∠NBD=30°,
∴∠GOD=30°,
在Rt△OGD中,cos30°=
OG
OD
,OD=3,
∴OG=
3
3
2
(cm)

(2)相切.
证明:连接OA交BN与H,
∵∠DBN=30°,
由翻折得∠DBC=∠DBN=30°.
∵∠ABC=90°,
∴∠ABO=60°,
∵OA=OB,
∴△ABO是等边三角形.
∴∠AOB=60°,
∴∠BHO=90°,
又∵EFBN,
∴∠FAH=90°,
∴OA⊥EF.
∴EF与⊙O相切.
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