题目内容

【题目】如图,二次函数的图象与x轴相交于点A(﹣3,0)、B(﹣1,0),与y轴相交于点C(0,3),点P是该图象上的动点;一次函数y=kx﹣4k(k≠0)的图象过点P交x轴于点Q.

(1)求该二次函数的解析式;

(2)当点P的坐标为(﹣4,m)时,求证:OPC=AQC

(3)点M,N分别在线段AQ、CQ上,点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动,同时,点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动,当点M,N中有一点到达Q点时,两点同时停止运动,设运动时间为t秒.

①连接AN,当AMN的面积最大时,求t的值;

②直线PQ能否垂直平分线段MN?若能,请求出此时点P的坐标;若不能,请说明你的理由.

【答案】(1)y=(x+3)(x+1)=x2+4x+3.(2)见解析;(3)①当t=时,AMN的面积最大.②直线PQ能垂直平分线段MN.

【解析】

试题分析:(1)利用交点式求出抛物线的解析式;

(2)证明四边形POQC是平行四边形,则结论得证;

(3)①求出AMN面积的表达式,利用二次函数的性质,求出AMN面积最大时t的值.注意:由于自变量取值范围的限制,二次函数并不是在对称轴处取得最大值;

②直线PQ上的点到AQC两边的距离相等,则直线PQ能平分AQC,所以直线PQ能垂直平分线段MN.

(1)解:设抛物线的解析式为:y=a(x+3)(x+1),

抛物线经过点C(0,3),

3=a×3×1,解得a=1.

抛物线的解析式为:y=(x+3)(x+1)=x2+4x+3.

(2)证明:在抛物线解析式y=x2+4x+3中,当x=﹣4时,y=3,P(﹣4,3).

P(﹣4,3),C(0,3),

PC=4,PCx轴.

一次函数y=kx﹣4k(k≠0)的图象交x轴于点Q,当y=0时,x=4,

Q(4,0),OQ=4.

PC=OQ,又PCx轴,

四边形POQC是平行四边形,

∴∠OPC=AQC

(3)解:①在RtCOQ中,OC=3,OQ=4,由勾股定理得:CQ=5.

如答图1所示,过点N作NDx轴于点D,则NDOC

∴△QND∽△QCO

,即,解得:ND=3﹣t.

设S=SAMN,则:

S=AMND=3t(3﹣t)=﹣(t﹣2+

AQ=7点M到达终点的时间为t=

S=(t﹣2+(0<t≤).

<0,,且x<时,y随x的增大而增大,

t=2.5时已超过运动时间又因为开口向下所以取

当t=时,AMN的面积最大.

②假设直线PQ能够垂直平分线段MN,则有QM=QN,且PQMN,PQ平分AQC

由QM=QN,得:7﹣3t=5﹣t,解得t=1.

设P(x,x2+4x+3),

若直线PQMN,则:过P作直线PEx轴,垂足为E,

PEQ∽△MDN

x=

P)或(

直线PQ能垂直平分线段MN.

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